二阶常微分方程

第九

二阶常微章方分的级数解法程 征本值问题

§91.

特

函殊常数微方分程

⎧uΔ + k u2 = 0一 的重要、地位⎨ ⎩Δu 0=

在波动

输运和程中方，如果：令 u(r ,t = )T(t ) v ( r) (1

2 则)动方波程u t t−a Δ u =0化为：

T ′

′t ()(rv )− 2T a( t)Δv= 0

1

T

′(t′ v)(r) a− T 2t() Δv= 0

T′′ v =Δ =−k2 aT2

v从得到：而 T′ + k′ a22T =0 ,

Δv+ k2v =0

2(

)

微偏方分程()叫作2亥霍兹方程。姆 样，同式将()代入热1导传方程u

t − ΔDu =0

可

得一到个(t)T的微常分程方和的亥v霍兹方程：

T姆 ′+ k 2 DT 0= Δ,v+ k 2 v 0=

2

拉普拉方程Δ斯u=0： 是姆霍亥兹方程Δ v + 2 v k= 0当 k0=的特。例 二、普拉拉方程斯Δ=u的0离变量 1分球、坐系标球 形区域球内、(球外或球)的拉氏方壳

Δu程=

选0球坐标取，氏拉程方写以成形式下

： ∂ 21 ∂ u1∂ ∂ 1 u ∂2 (ru )+ 2( is n θ+ ) 2= 02 2 ∂r2∂ θ r∂ r ris θ n∂θr ins θ ϕ∂

(3)3

1

∂ 2∂ u 1 ∂12 u∂ ∂ u r )( +2 s(niθ + 2) 0=2 2 2 ∂ rθ r s∂ni θ ∂ rθsin θ ϕ r∂ r

∂

()3

其

0 中

u离( r ,θ , ϕ = )R (r ) Y(θ, ϕ )

代入

3)(得，Y

2dd ∂ ∂YRR ∂R Y 2(r) 2+ (sn θi )+ 2 = 02 2 ∂θ 2rd r drr in θs∂ θ rsin ∂ϕθ

r

2两 边同以乘 R

Y d12 dR 1 ∂ ∂ Y1 ∂2 (rY)+ (si n θ+ =) 022 dr RdrY s in θ∂ θ∂ Y θsinθ ∂ϕ

4

1 d2 d 1R ∂∂ Y 1 2Y∂( r)+ ( sn θ i+ )0= 22 Rdr dr Y s inθ θ ∂∂θY insθ ∂

ϕ 1 d dR21 ∂ Y∂ 1∂ 2 Y( )r− (sin=θ − ) l =( +l1) 2 2 r Y sid n θ∂θ θ∂ R r Y dis nθ∂

ϕ分解两为个方程

： 2dd R(r ) − l ( l+ 1)R = 0rd r

1d∂ ∂ Y 1 ∂2Y (ins )θ+ l+ l +(1 )Y= 0 2 2sinθ ∂ θ∂ θsni θ∂ϕ

() 4(5)

5

2d d (Rr) −l (l +1 ) =R0 dr d

1 ∂ ∂rY 1 ∂Y2 (sniθ )+ + l l + ()Y =10 2 2is θn∂θ ∂θ isn θϕ

∂(4 (5)

)常微方分(4程)欧拉是型常微方程分 ,的解它是R

( )r = r + D

lC

1

l r+

1(

6

)偏

分方程(5微)作球叫函方程数

。

6

1 ∂

Y∂ ∂12Y l (l++ 1) Y 0=(sin θ ) 2 2 +sn θi∂θ θ∂si θ ∂nϕ

(

5)

令

Y (θ, ϕ ) = Θ(θ )Φ ϕ ) 代(球入函数方(程5，)得

ΘdΦ Θdd 2 Φ(s in θ) ++ l(l + 1)ΦΘ= 202 dθ sn i θdθs n iθ ϕd

ins2 θ 边两同乘以 ΘΦ

sin

θ ddΘ1 d2 Φ(isnθ ) ++ l (l + ) 1ins θ = 02dθ Θ θdΦ d ϕ2 7

isn θd d 1Θ 2Φd sin (θ )++ l ( l+1) sin2 =θ 0 d Θθ θd Φ d ϕ2

is θ nd dΘ 1d 2Φ (2si nθ) + (l l 1)+ is n =θ − Θ dθd Φ θϕ 2d

=λ

分

为解个两常分微方：程Φ′

′ λ+Φ =

0(

) (78

)

dΘds i θ n(si θn ) +[l ( l 1+ )ins θ 2− λΘ ]=0 d θd

Φθ(ϕ + 2 π = )Φ (ϕ)

——

然自的期周件

条8

⎧ Φ′ ′+ λΦ= 0 ⎨⎩ (ϕ + Φ2π )= (ϕ Φ)

——征值问本

题解

得λ =m

2

(

m = 0,12,, )

—

—征本值— 本—征函

数Φ (

ϕ = A )ocsm ϕ +Bsin m

将ϕλ=2代入m(8)式1

dΘdm 2 si(nθ ) + [ (ll +1) − Θ = 0 ]2s inθ d θd θs i θn

9(

)9

1 d

m 2dΘ(s i nθ) + l ([l+ 1 ) −] Θ = 0 s2i θ dnθ θdsi θn

(9)

通常用

θ

= acrcso x

x =即c soθ把自 数从θ换为变

d x ddx = =d − sinθ d θdx θ dxd

d d ΘΘ x dΘ =d= −si nθ dθdx d θxd1 d

dΘ 1x dd Θ ds(niθ = )− si(n 2 θ) =d [ 1 − x(2 ) dΘ si] θ ndθdθ si nθ θd dx xddx dx

2ΘddΘ =(1 − x )2 − 2 xdx d x2

10

2

d1 Θ ddΘ2 d (Θisn θ) = 1( −x )2− 2 x sn θi θd θd dx d

x1

d dΘ 2m sin θ( ) [l +l(+ 1) −Θ =] 0 2sin θd θd θis θ

(n9)

方程(9)

化

为d2 Θd Θm 2( 1 − x2 )2− 2 x + l[( l 1+)− ]Θ = 0 2xd 1− x d

x(10

)当 m=0 时 ，

—

—l阶 带勒让德连方 程11(

)1

1d 2ΘdΘ (1 x −2 )2 − 2x + l( l+ )Θ1= 0 d dx

x—

l—阶勒 让方德程

2

、坐柱系标拉 方氏写程成以下式：

1 ∂ 形u ∂ ∂ 1u2∂ 2 u 2 += (0ρ ) + 22 ρ∂ρ ρ∂ρ ∂ϕ∂z

(

21)

式

中 0≤ ρ

Z ⎪′ ′ μ Z =+0 ( 31) ⎪⎪ 2 1(4) ⎨′Φ + ′ mΦ = 0⎪2 d R d1 R2m⎪ + + ( − 2μ) R 0=2 ⎪dρ dρρρ

⎩(

51

12)

⎧ ⎪Z ′ + μ ′ = Z 013( ⎪)⎪ 14)(Φ′′ + m 2 Φ =0 ⎨ 2 ⎪ dR1 dR m2 ⎪ + +( μ−2 )R = 0 2⎪dρ ρ dρ ρ ⎩

1()5

方程(1)、314)是(常数系常微方程，分解易其于求， 而得方(程1)5是变数系微分方程。常 1) (=0μ，程(方51)欧是方拉程 。()2μ >， 0变换作x：= μ ρ则方 (15程变为)：

dR2d R2 x x ++ ( 2x− m2 ) = R0 x d d2x

称为m之阶贝尔塞(Besels方程。

13)

d

2 R d1 mR2 ++ ( μ− 2 ) R= 0 ρ2 ρ ρddρ

(15

()1 )μ0，=程(方1)5是欧方拉。程 (2 μ)0>， 变作换x = ： μρ 方程(15则)变：为d 2

R d 2Rx +x + ( x2 − m 2) R= 0 d 2xdx

称

之为m贝阶尔(塞essBe)l方。程 3()μ 0

dρ 2Rd R x x +−( x 2 +m2 )R = 0x 2 dx

d

2

称为之宗量虚塞尔贝(Besel)s程。方14

三、姆霍亥兹方的分程变量离 、1坐标球系Δ

v k 2+v = 0

将球坐标

中Δv的系达式表代上式入：

1∂2 ∂v 1 ∂v ∂1 2∂v(r )+ 2(s i n θ)+2 2+ k v 2= 0∂r r insθ ∂θ θ r∂ ∂r2r s in θ∂ 2

ϕ1()6

令

u ( r θ,, ) =ϕ (rR Y () θ, ϕ) 入代16()得

，Yd 2 dR R ∂R Y∂∂ 2Y ( r+)2 ( ins )+ 2θ2 + 2 kR Y 0 = r d2 rrdr sin θ∂ θrsi n θ∂ϕ 2 ∂θ

r2

两同边以 乘RY，

得1

d 2 dR 1 ∂ Y ∂1 ∂ Y22 2 (r )k+ r= −( sn i )−θ = (ll +1 R)dr d Y rin s ∂θθ θ∂Y sni2 θ ∂ϕ 2

15

d 1 2R d1 ∂∂Y 1∂ 2 Y2 2 r()+k r − =(in sθ)− 22 = l( +l1 )R rd rdY s in θθ ∂θ∂Y sin ∂θϕ

解分为个方程：

两 1 ∂2 Y 1∂∂Y (sinθ + )+l ( +l1) = 0 2 Y2 in sθ ∂θ

∂θ is θn∂ ϕd 2

R d( )r + k[ 2 r −2 (ll+ 1 ]R ) =0d rdr

( 1)7( 81

方程)17)(就球函是方程，把它进一数分步变离将数到解得；常微分 程(18)方叫作阶球贝塞尔方l程。

61

、柱坐2标系

v + Δ k v2= 0

将

柱标坐系Δv的表中达代入式上：式

1 ∂∂ 1 v 2v∂ ∂v2 + 2+k 2v = 0(ρ ) + ρ ∂ρ 2ρ ρ ∂ϕ∂2 ∂z

(19)

令 v( , ρ ϕ , ) = R ( ρz )Φ ϕ ()Z ( )

z Z′ ′+ν 2 Z = 0Φ′ + ′λΦ= 0 (12 )(22) (20

)d

2 1 dRRλ ++ ( k2− 2 −ν 2) = 0 Rd2 ρρ ρdρ

—P—362

1

§9.72

常点

域领的级数解上

(法1

求)解带初条件始的线二阶常性微方分

y程 ′′ p + x ) ( y ′+q x ( y ) 0=y ( x0

)= 0C, ′y x0() = 1

其中Cx为0任意指点定，0,CC 为常数1 。数解级法：某个任在点选 x的邻上，把待域的求解 0 表为数系待的级定，数入方程代以个逐确 系定。数

8

1

复变数函(zw的线性)阶常微分方二程

d w 2d +wp z ) ( +( zq) w = 02 d dz

(2)z

( w0 )z= 0C, ′( w0z) = 1

C其

中z为变复数，0z选定的为，点C, C01为复常数。一、方程的常 点奇和点如 方程果()2的系函数p数z()q和z)(在定选点z的的0邻 中域是析解，的点则0叫作方程z()2常的。 点果选如定的点0是zpz(或q)()z的点奇则点，z0作方叫程(2 )的点。奇

91

二、

常领点域上的级数法解d

w 2wd p( z + +)q ( ) w z= 20d dz

z

2()

w( 0z) = C0 ,w (′z 0 = )C1

定

： 若方理(2程的系数)(zp)q(z和)为点0的z邻域z z−0

常20

性二线常阶分微程(方)2 常在点z的0域 邻 −zz 0

(wz ) =∑a k( z−z 0 )

k =0k

∞(

3

)

中系数其a,0a 1,,… k, …a,待有定确。

为确定级了解数3)中的系数，(体做具法是以3()入方代程 2)，合并(幂同，项令合后并各系的分数为别，找出系 数a零0 a1,,… ak,,…, 间的递之关推，最后用已给系的值初C0, 1来确C定各系数个k a(=k01,,, …)，从2而求确定得的级数解。

2

1三

勒、让德方 自然程界条件

边1(− x 2) y ′′ 2− y ′ +x (l + 1l) = y0

(4

)

其中 x

= oc θs, =yΘ θ ).

2x(l ( l+ 1 )y ′ ′ (x)− y ′ () +x y( ) x 0 2 = 21 x− 1− x

1

l、 阶勒让方程在常点x德=0的0域领的级数上解2x

p( )x −=, q (x) = l (l +)1 1 −2 x1 x2−

px(和q(x))在0=0x领上都域是解的析，所 以0x0=方程是4)(的常点

。2

y 2 x( ) ∑=a k x k 令

k= 0

∞

(5)

代入

l阶勒让德方程

(1− x 2 )y ′ − 2 xy′ ′ +l (l +) 1 = 0

y ∞ k =0∞k =0

( )4∞

k =0

∞

(1 − x

2∑)k ( k −1 a) kx k− 2 − x ∑2ka k xk − 1+ l( + l1) ∑akx = k

0

∑ kk ( 1−)akx

=0

k∞k =0

∞

k−

2

−∑ k ( k

−

1)ak − x2∑ kak + x l(l + )∑ 1ka x k =0

k kk = 0 k0=k =

0∞ ∞∞

∞

∞

(k+ 2)( + 1k )ka +2 x − k∑ k( 1−a)k x− 2∑ ak x + k l(l + )∑ 1kax k = 0∑

k kkk =0 k =0 k 0

23

=

∑(k + )2k(+ 1) a

=0k

∞

k+ 2

x

k − ∑ k(k − 1) k xa k− 2 ∑ ak k xk+ ll(+ )∑1 kax k = 0

k =0 k =0 k =0

∞

∞

∞

{(k

2+)k( +1)ka + 2− [ k ( k+1 )− ll( 1+]a) }x k = 0 k

k∑ =

0∞

(k

2+)( k+1 a) k+ −2 [k (k +) 1−l ( +l )]1ak =0

数递系推公式∴

k +a2 k (k+ )1− (l l+ 1 k )2 +k − l l + ()1a k == a (k + 2k(k +) ) (1k+ 2)( k+ )1=

(k − )lk( + + 1l) k a( k +)2k(+ 1

)

k= 0,1 ,,

2(6)

24

y( x ) = ∑ka xk ( 5

) =k0

∞

(

1 − 2x) y′′ −2 xy′ +l l + 1( ) y=0

ak+ 2

=

( − l )k(k+ l +1) a k k=0, 1 ,, 2k + 2(() k +)

(6)1

把所

下有标为偶数的数a2k用系数系a来表示， 0所把下标为有数奇的系数2k+a用1系数a来1示表，书P240~ 412——( 9..2)7(9.2、8).2

+1k (y ) x ∑ =ak x k =a0 + ∑ a 2 k +x 1 ax +∑a2 k + x 21k

∞

∞

∞ k0

=k

=1

k

=

1

=0y( ) +xy1 ( x)

式

中 ( yx )= a+ ∑

0 a k0 1=

∞

2k

x

, y ( 1x) a1= x + ∑a2 k+1x 2 k 1+.

2

k k=1

∞25

2

、的解敛性 散()1.由达氏别判法

R l=m

n →∞

i

0 y x( ) a0= + ∑ 2 a xk2

kk= ∞1

y1∞ () =xa x1+ ∑ a2 k + 1 x 2 k1+k

=1

cn

an (n +2 )n(+ 1 ) l=i m =li =m n1→∞ n (− l)( n + l + 1 ) →n a∞cn +1n 2+

⎧

x 1 发散 ⎪ ⎪ x 1 收=敛发??散⎩

().由2斯高别判法

以可明证0(x)和y1(xy这)个两无穷数级在x±1时=是散发的。

62

3

、 l阶勒德让方本征值程题问解 y的(x0)y1和x)(在 = ±x 1是发散的。 求出要l阶 勒让方德程在间区-1[,1]为上有的非限零解， 就是要求让德勒程方本值征问题⎧

(1− x)y ′′− 2xy′ l +(l + )1 = 0 y ⎨ ⎩x当 = ±时y1( x)有限 —自—边然界条件2

求

征值本题问解就变为如的何级使数(解5在点

x)= ±1 成 有限为的

。7

2求本值征问的解题就为如变使级何数解(5)在点x =1成为±限有。的y

( x) = ∑ a kx k= 0 y(x) + 1 y(x)

k0=∞

(5

)要

解满足在求 = ±x为有1限的变为就何如无穷使要使幂 数变为多项级，式从它级数变为 项多。式某 一起以后项各的项数系应为零。都

a k + 2( k −l (k) l+ +) =1a kk +( )2k(+ 1

)k 0,=,2,1

(6

)a

当l k=时 ，l+=20 则，la+= 4l+a=6… =。0 y0(即)xy1或x)退化(为l多项次。

式8

2

a k +

2(k

−l )( k+ +l 1 )=a k(k +)2k(+ 1) ,

k= 0,1,2,

(6

1)若)l = k= 2,n =n 01,,2

,

则ka +2 = al + 2 =2 an+2 = 0

=

0a

2 +n =4 a2 + n6

=y

0(x ) = a0 + a 2x 2 +=

a0 +2 xa 2+

+2an x2n + a

lx →l次l多项

y式 ( x 1)= 1ax +a3 x +

+3a 2 n 1+ x 2 +n 1+ 2 a +3nx 2 +n +3

→无级数

穷取a1

0，则=y(x)10

y =( x =) a0 + 2 a x + + 2al x

2l

9

a

k + 2=

k(− l ) k( + l +)1 ak k(+ )2( k+1)

= n,10

,2,

,k

= 01,2,,

(

)

6

2)若l = k = n 2 +1,y1

( )x =a 1 x+ 3ax +

3 则a +k2 = al +2 = a 2 +n 3 =0=

0a 2 n5 +=a2 n + 7=

+a n2 + 1x 2 +n

=1a1 x a+3 x3 +

y ( 0 x )= a0 +a x22 +

a+l x →ll次项式多

+

2 n xa n2+ a 2 n + 2 x 2n+ 2+

→无级数穷

取

0a=，0则0(xy)0=y (

x) =a 1 +a3 x + 3+ l ax l3

0

⎧(

1− x 2 )y ′′− 2 y x ′ + (ll + ) y1= 0 —⎪本—征问题值 ⎨⎪ x当 =1±时 (yx )限 有自然边界(条件 )⎩

征值本l (l+是1)本 征数 函l= 2 :n

( l=0 1, 2,

y0)( ) x=a0 +a2 2 x++ a x ll al + l

x3l = 2 n +1: y 1( x) a1=x + 3 a x

+

4Le、egdrn多项式e选

al = 2(l) !2l(l !)2

则

述l上多次式项0(yx或)y(x1)P为(lx，称)为之阶Lelgendre多项式。

1

3

(⎧ − x 12 y )′′ −2 xy ′+ ll +( 1 y) =0 ⎪ — 本—值征题 ⎨ ⎪当x问= ± 时y ( x1有限)(自 边界条件 )然

⎩

征本值是l l+()1

l ( =0,,1 )

2

征本函是l阶勒让德多数式项l(xP。)

23

9.§ 3正则点邻域上的奇数解法级

、一则奇点正邻上的域数解法

d级2w dw + p z ( ) +q(z w) =02 dzd

z1)

如(系数(p)以zz0不高于为阶的一极点，且数q系z)(z0以 不为于二阶高的极，点 可证以奇点z0就是明则正点。奇 在0z的域邻 0

：1 ( z )w = ∑a k(z −0 ) s1z+ ,

kw2( z ) ∑ bk= ( z − 0 ) s2 +zk

k,= 0

∞

k

=0 ∞

(

) 23) (4)(3

3

或w2

( )z =A 1 w(z ) nl(z −z0 ) + bk∑ ( −zz 0) s2 + k ,

k 0=

∞

1w( z ) = ak (∑z −z 0 ) s1+ k ,

w 2( z)= ∑ bk( − z0 z)s 2 k+ ,k

=0

∞

k0=∞

(2

(3)) 4()k

=− 1∞

或

2w( z ) = wA1( z) ln z − (z 0)+ ∑ kb( z z0 )−s2 + k,

k 0=

∞中s其和s21是所谓判方程

定s s (−1 ) sp+− +1q 2−= 0

(p z)

q(=z ) =

∑ p

z − z ) ,(

k 0k

kk0

∞

k −=

2

∑ (q z−z )

,的两个根，

s而2较小的是一那个根，至于A ,ka和kb为 均常数系。数()3适用于 s式 − 12s ≠整数情的况，4)(式用适 于1 − ss2 =整 数的情况

。34

二

、Bssele方程 ()一ν、Be阶ssel程方x0=0点在邻域级数的解x

2 ′y +′x ′y+ (x −2 v2 y )=0 (阶 ν 整数或≠整数)半

p1( ) =x, x

q(x) = 1 −

5)

(

=0是px()x一的极点阶，

2ν2

x

,

x=是0q()的二x阶极，

点所

以0=0是方x程(5)的正奇点，则判定方程 :

s ( s为− )1 + s− 2 ν=

0s( s − 1) + ps1 +− q−2= 0

s

−2ν 2= 0

⇒

s 1 ν=,

s

= 2−ν,

35

令y 1(x) = ∑ akx ν +

kk 0

=

∞w1 (

z ) = ∑ ak z (− z0) s 1+k ,

k=0

∞

代

入5)( [：(ν + ) ∑kk

=

∞

0

2

ν ]ak x−2

νk

++ a∑k νx+ k + 2 = 0

=k

∞0

1 =sν ,

x

ν+1

:[(ν + 1)− ν] a =10

2

→ 21 =a0

x2y ′′+ y′ x+( 2x −v 2 ) = y 05)

(

ν + x :k [ν( +k) 2 −ν 2 a]k+ a k 2 −=

a0k− 2∴ ak= − k 2(ν +k)

∴2a = −a3 = −

a

01 =−1⋅ 2 0a2 (2ν+ 2) !

1

(ν+ )1

21a1

3(2ν

+ 3)

=

03

6

2 a 11 1 1a = 4− − =⋅2 a 2= 4 a0 ⋅42ν(+ 4 )(ν 2+2 2) 2(ν ! 1+)( ν 2) 2+

a

5 =0

ak =

−a

k − k2 2ν( k+ )

于

是

a2

k =( −) 1

k k1!(ν + 1 )ν( +)2

1

a2 k 0ν + k() 2 ⋅

k

=1 2,,

a k2+1 0

=y 1(x ) = a∑ xk

k 0=

∞

ν

+k

=∑ a 2k x

k=0

∞

ν +k

2= 0 a

xν

∑

(1−k)

k 0=

∞1

k! ( ν +1(ν) +2 )

2k1 xk2 (ν+ k )2

⋅

类似的取s = s2 −=

ν1y2 (x )=b 0x ∑−1()k !−(ν+ )(−1 + 2) kν=0

−ν ∞

k

1 k2⋅ 2 kx −(ν + k) 2

73

（二

、解的）敛散

a性 k− R = 2lim= lim 2 2k ( 2 +νk ) k ∞ a →k→ ∞ k

∞=

∴

y , 12在0y

(

三)、eBssel数函 1．义：

1 定在y1(解)x中取，a0 = 2νΓ (ν+ )1

并记时 此1y( x ) = ν ( x)J,

称之

为阶veBsse函l数

，y

1 ( ) x Jν ( x=)

1⎛ x⎞ k ∑= −(1 ⎜)⎟ k Γ!(ν+ k + ) ⎝ 12⎠ k=0

∞

ν

2+k

(

)

683

在解y1

x)(中取，a0 =

21ν (Γν+ )

∞

1并记

时此y 1(x) = Jν ( x )

,ν 2+

k

1 (yx =)J ν(x )

⎛1⎞ k =x∑ −1) (⎜⎟ k! (ν + Γ + k1 ⎝) 2 ⎠ =k

0

(6

)y在(2)中，x

b0取=

1

2− νΓ−(ν 1+

)

并此时y记2x)(= −J ( νx) 称

之为

v-的B阶ssel函数，

1 e x⎛⎞ =∑ −()1k y 2( x )= J− ν ()x⎜ ⎟ !Γ(−k + kν 1+ ⎝) ⎠2k 0

∞ =−ν+ 2

k

(7

)9

3

2线性．相性关①当 ν≠ 时m J ν x)(和 −ν J(x ) 线是性无的。

关ν当= m时,

J m (−x) = −(1 m)J m( x)

② v阶(阶 ν整数≠或整半)贝塞尔数方程通的解

是y x)(= C1 J ν ()x C2+J − (νx)

(8

)

C,C1为2任常意数与，无关。

x40

四)、半奇数((+1/2)阶lesBsle程 在x方00点=邻域上解求l+(1/)阶2eBses方程l

1x2 ′′ +yxy ′+[ x − 2( l+) 2 ] y 0=2

(l =,01 ,, )2

()9

所以

0x=是0方程()的正9奇则 点/21B阶esels方的通解是

程 y( ) =x C1 J 1( x ) +2C J1 ( x )2

−

2

(l1/2+阶)Besels程方通的解

是 (yx) = C 1

1J l+ 2

(

x )+ C J2

1

− (l+ ) 2

(

x)

41

(五、)数m阶Be整ssel方程在 0x=0邻域点求解上阶Besmes方l

x程2 ′y′ +y′ x+ ( x2 − 2 m) y = 0

(为m然数自

)10)(

阶meBsel方程s通解的

是 y () x= C1 J m (x )+ Nm ( x)

2

J − m(x = )−1)(m Jm ()xy ( x )≠ C1 J m( ) x+C J2− m( )x

其x中 mN ( x) =π (l 2n + C J)m ( x)，称为 诺曼伊函.数

42

、虚二宗量Bsees方l 程—P—29

(一)、5ν阶虚宗量Bssee方程

x 2 R′l ′+xR′ − x(2 + v 2 R) 0 (=ν 阶整≠数或整数半)

(

11

)v阶

宗虚量塞尔方程的通解贝是

y( x)= C1Iν (x ) C2 + I− ν(x)

其中宗虚量贝塞尔数I函 ( x)ν = −i Jνν(i x,)I −ν x()= i J −ν (iνx).

()、二数m整虚宗量B阶sesle程

x 方2 R′ ′+x ′R − ( 2 x m+ )2 = R0(阶 ν整≠或数整数半)

(11

)v阶虚宗量

贝尔方塞的通程是

解 (yx ) C= 1 m ( Ix + )2 CK (m )

xm阶虚中其量贝宗塞尔数函 Im x()= i − m Jm ix() 虚宗量,克汉函尔K数m ( x) = li m

π

I −ν ( x) −Iν x( ν →m 2 sin)νπ

(P356

)

43