高三数学三角函数的概念

第四章 三角函数

知识结构网络

三角函数线

三角综合运用

4.1 三角函数的概念与基本公式

——三角函数阐述了自然界中奇妙有趣的数量关系，是非常有用，而且益智的数学知识

一、明确复习目标

1. 熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式; 2. 掌握任意角的三角函数概念、符号、同角三角函数公式和诱导公式;

二．建构知识网络

1． 角的定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。

2. 角在直角坐标系中的表示：角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上. (1) 象限角:角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

(2) 象间角:角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象间角。 (3) 与α角终边相同的角的集合：{β|β=k360°+α,k∈Z}

终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 (4) 正确理解：“0 ~90 间的角” “第一象限的角”，“锐角”，“小于90 的角”，这四种角的集合分别表示为：

{θ|00≤θ

{θ0

}， {θ

3．弧度制: 规定

(1)等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角, 作为弧度制的单位; (2) 任一已知角α的弧度数的绝对值=l 。

r

(3) 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。

这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。 比值l/r与所取圆的半径大小无关，而仅与角的大小有关。 4．弧度与角度的换算：1800=π（弧度），1弧度=（180/π）0≈57018＇。

11

5．弧长公式:l =⋅r ; 扇形的面积公式： S 扇形=lr =⋅r 2。

22

6. 任意角三角函数的定义:在角α的终边上任意一点P （x ，y ）与原点的距离是

r

（r =x 2+y 2＞0），则sin α=

y y x

，cos α=，tan α=.

r r x

三角函数两件事:一是符号, 二是比值, 且比值与P 上在终边上的位置无关. 7. 同角三角函数关系式: sin 2α+cos2α=1（平方关系）；

sin α

=tanα（商数关系）；tan αcot α=1（倒数关系）. cos α

8. 诱导公式 α+2k π（k ∈Z ）、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. ——函数名不变，符号看象限。

另外：sin （

ππ

－α）=cosα，cos （－α）=sinα. ——函数名改变。 22

三、双基题目练练手

3α4

，cos =－，那么α的终边在 （ ）

5252

A. 第一象限 B. 第三或第四象限 C. 第三象限 D. 第四象限 1. 已知sin

=

2. (2005全国Ⅲ) 设0≤x ≤2π,

=sin x -cos x , 则 （ ） A. 0≤x ≤π B.

α

π

4

≤x ≤

7ππ5ππ3π C. ≤x ≤ D. ≤x ≤ 44422

4

，则m 的值是（ ） 5

3. 角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－A.

1

C. － D.

222

1πcot （-α-π）⋅sin （2π+α）

4. 已知cos α=，且－＜α＜0，则=_________.

cos （-α）⋅tan α32

1

2

B. －

1

5. 已知sin β=，sin （α+β）=1，则sin （2α+β）=_________.

36. 已知sin θ=

1-a 3a -1

，cos θ=，若θ是第二象限角，则实数a =______

1+a 1+a

简答:1-3.DCA; 4.

121

; 5. ; 6. . 439

1. 结合三角函数线知

2k π+

3πα3π

247

＜0，cos α= ＞0，∴α终边在第四象限. 2525

=－

法2: sinα=－

3. cosα=

-8m 64m 2+9

411

. ∴m =或m =－（舍去）答案：A 522

1

4. 从cos α=中可推知sin α、cot α的值，再用诱导公式即可求之.

35. ∵sin （α+β）=1，∴α+β=2k π+

π. 2

1

∴sin （2α+β）=sin［2（α+β）－β］=sinβ=.

3

⎧1-a

⎪0

13a -1⎪

6. 依题意得⎨-1

1+a 9⎪

⎪1-a 23a -12（（）=1. ⎪1+a ）+1+a ⎩

四、经典例题做一做

【例1】已知α是第二象限的角

（1） 指出α／2所在的象限，并用图象表示其变化范围； （2） 若α还满足条件|α+2|≤4，求α的取值区间;

（3） 若

π

2

解：依题意，2kπ+π/2＜α＜2kπ+π（k ∈Z ） （1） 所以kπ+π/4＜α/2＜kπ+π/2（k ∈Z ），若k 为偶数，

则α/2是第一象限的角；若k 为奇数，则α/2是第三象限的角；其变化范围如图中的阴影部分所示（不含边界） （2） 因为|α+2|≤4，所以－6≤α≤2，

即α∈（2kπ+π/2，2kπ+π）∩[－6，2]，

结合数轴可知，α∈（－3π/2，－π）∪（π/2，2]。 (3)

π

πππ

又α

π

2

◆提炼方法: 理解象限角、终边相同的角、区间角的概念，掌握α角的取值范围与2α、

α/2角的取值范围间的相互关系。

sin (k π-α)⋅cos[(k -1) π-α]

【例2】化简（1） （k ∈Z ）

sin[(k +1) π+α]⋅cos(k π+α)

1-sin 6α-cos 6α

（2）; 24

sin α-sin α

1-sin

α2+2

1+sin 1-sin

α2.

(3) 若sin α·cos α＜0，sin α·tan α＜0，化简

1+sin

2

解：（1）当k 为偶数时，原式=-sin α⋅(-cos α) =－1；当k 为奇数时同理可得，原式=

-sin αcos α

－1，故当k ∈Z 时，原式=-1。

1-sin 2α+cos 2α[sin 2α+cos 2α

（2）原式=

sin 2α1-sin 2α

()(

)2

-3sin 2α⋅cos 2α]

=3

(3)由所给条件知α是第二象限角，则

1-sin

α

2

是第一或第三象限角.

α

+1+sin

α

=

原式=

2

-sin 2

α

2

α|cos |

2

αα⎧2sec （是第一象限角），⎪⎪22=⎨

αα⎪-2sec （是第三象限角）.

⎪22⎩

◆关键点注:（1）分清k 的奇偶，决定函数值符号是关键；

（2）平方式降次是化简的重要手段之一。

【例3】（1）确定lg （cos6－sin6）的符号；

-sin 2α （2）若+=0，判断cos （sin α）•sin （cos α）的符号。

2cos α-cos α

sin α

解：（1）∵6是第四象限的角，∴cos6＞0，sin6＜0，故cos6－sin6＞0；

∵（cos6－sin6）2=1-2sin6cos6＞1，∴cos6－sin6＞1，∴lg （cos6－sin6）＞0 （2）由题意可得

sin α|cos α|

+=0，∴sin α•cos α＜0，故α在第二或第四象限。

|sin α|cos α

① 若α在第二象限，则0＜sin α＜1，-1＜cos α＜0，∴cos （sin α）＞0， sin （cos α）＜0；∴原式＜0。

② 若α在第四象限，则-1＜sin α＜0，0＜cos α＜1，∴cos （sin α）＞0， sin （cos α）＞0；∴原式＞0。

◆思路方法:判断角所在的象限是解决此类问题的关键。对于用弧度制表示的角不好判定所在象限时，可转化成角度来表示。

【例4】时钟上自7点整到分针与 时针第一次重合, 求分针转过的弧度数. 如果分针长11cm, 求分针转过扇形的面积.

解:设分针转过的弧度数的绝对值为x, 则时针转过的角的弧度数的绝对值为x -由分针、时针转过的时间相等得：

分针转过扇形的面积 S =答：分针转过-

7π, 6

30x

π

=

360

π

(x -

7π14

) （分钟）⇒x =π。

116

1114π

|x |⋅r 2=⨯⨯112=77π(cm 2) 2211

14

π，转过扇形的面积为77πcm2. 11

【研讨. 欣赏】证明：(1)

2(cos α-sin α)cos αsin α

=-

1+sin α+cos α1+sin α1+cos α

(2) 若sin α=msinβ,tan α=ntanβ, 且α, β为锐角,

则cos α=cos α+cos 2α-sin α-sin 2α

证明(1)法一：右边=

1+sin α1+cos α=

(cos α-sin α)(1+sin α+cos α)

1+sin α1+cos α2(cos α-sin α)(1+sin α+cos α)

=

21+sin α+cos α+sin αcos α2(cos α-sin α)(1+sin α+cos α)

= 1+sin 2α+cos 2α+2sin α+2cos α+2sin αcos α

=

2(cos α-sin α)(1+sin α+cos α)

1+sin α+cos α2

=左边

法二：要证等式即证

2(cos α-sin α)cos αsin α

=-

1+sin α+cos α1+sin α1+cos α

cos α-sin α)(1+sin α+cos α)( =

1+sin α1+cos α只需证2(1+sin α)(1+cos α)=(1+sin α+cos α) 即证

2

2+2sin α+2cos α+2sin αcos α

=1+sin α+cos α+2sin α+2cos α+2sin αcos α

即1=sin α+cos α显然成立, 所以原等式成立。 (2)(注意结论, 应消去β)

2

2

2

2

由tan α=m tan β得sin αcos β=n cos αsin β ① 由sin α=msinβ ② 得sin β=

sin α

, 代入①得ncos α=mcosβ与②平方相加得(n2-1)cos 2α=m2-1. m

∵α是锐角,

∴cos α=

◆思维点拨：１．证等式常用方法：从一边推另一边；化繁为简；左右归一；变形论证；

综合法；比较法等.

２．常用变形技巧：切割化弦，化异为同，凑分母，“１”的代换．

五．提炼总结以为师

1. 任意角、弧度制、与角度制的互化，弧长、扇形面积公式；任意角的三角函数概念. 2. 在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限正确确定三角函数值的符号, 求出相应的值.

3. 弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要注意公式的变形使用，要尽量减少开方运算，慎重确定符号., 并注意“1”的灵活代换:

如1=sin2α+cos2α=sec2α－tan 2α=csc2α－cot 2α=tanα·cot α.

4. 应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀.

5. sin θ+cos θ，sin θcos θ，sin θ-cos θ三个式子中，已知其中一个式子的值，求出其余两个式子的值。

同步练习

【选择题】

4.1 三角函数的概念与基本公式

1. （2004. 辽宁卷）若cos θ>0, 且sin 2θ

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2

⎧⎪sin(πx ), -1

2. （2005山东）函数f (x ) =⎨x -1，若f (1) +f (a ) =2，则a 的所有

⎪⎩e , x ≥0

可能值为 （ ） （A ）1 （B ）1, -

222 （C ）- （D ）1, 222

3. 设α、β是第二象限的角，且sin α＜sin β，则下列不等式能成立的是 ( )

A.cos α＜cos β B.tan α＜tan β C.cot α＞cot β D.sec α＜sec β

【填空题】

4. 化简-sin 8=_________.

1

，那么角α是第_______象限的角. 5

6. 已知扇形的周长为20，当扇形的半径r=_____时，扇形的面积最大，面积的最大值等于________；

5. 已知sin α+cosα=

练习简答：1-3.DBA;

3.A 与D 互斥，B 与C 等价，则只要判断A 与D 对错即可. 利用单位圆或特殊值法，易知选A.

2

4. -sin 8=sin 4-cos 4）=|sin4－cos4|=sin4－cos4.

112

，∴sin αcos α=－＜0. ∴α是第二或第四象限角. 2525

6. 当r =5时面积最大，最大值为25

【解答题】

5. 两边平方得1+2sinαcos α=7. 已知π

π4π

，-π

33

1313

，B=；∴2α-β=（α+β）+（α-β），从而可求得－π＜2α－β2222

解：设2α-β=A（α+β）+B（α-β），（A ，B 为待定系数），则2α-β=（A+B）α+（A-B ）β。比较两边的系数得A=＜π／6。

思维点拨:解决此类问题要用待定系数法，千万不能先由条件得出α、β的范围，再求2α－β的范围比实际范围要大。 8. 已知tan α=2，求

4sin α-2cos α（1）的值；

5sin α+3cos α

（2）5sin 2α+3sin αcos α-2的值。

6； 13

4tan α-26

法二：∵tan α=2，∴cos α≠0，∴原式==。

5tan α+313

解：（1）法一：由已知sin α=2cosα，∴原式=

3sin 2α+3sin αcos α-2cos 2α（2）5sin α+3sin αcos α-2==

sin 2α+cos 2α

2

3tan 2α+3tan α-216

= 2

5tan α+1

提炼方法：关于sin α, cos α的齐次式的一般处理方法。

９.(1)已知sin θ+cos θ=（2）化简sin

1

, θ∈(0, π)，求cot θ的值。 5

⎛4n -1⎫⎛4n +1⎫

π-α⎪+cos π-α⎪(n ∈z )

⎝4⎭⎝4⎭

112

得sin θcos θ=-，所以sin θ, cos θ是方程 525

11243x 2-x -=0的两根，x 1=, x 2=-

52555

解：(1)由已知sin θ+cos θ=

而θ∈(0, π), ∴sin θ=

433, cos θ=-, ∴cot θ=- 554

t 2-1

思维点拨：常用关系sin θ+cos θ=t ，则sin θcos θ=在解题中的作用。

2

(2)原式=sin ⎢n π-

⎡⎣⎡⎛π⎫⎤⎛π⎫⎤

+α⎪⎥+cos ⎢n π+ -α⎪⎥ ⎝4⎭⎦⎝4⎭⎦⎣

当n 为奇数时，设n =2k +1(k ∈z )， 则原式=sin ⎢2k π+π-

⎡⎣⎡⎛π⎫⎤⎛π⎫⎤

+α⎪⎥+cos ⎢2k π+π+ -α⎪⎥ ⎝4⎭⎦⎝4⎭⎦⎣

=sin

⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫

+α⎪-cos -α⎪=cos -α⎪-cos -α⎪=0。 ⎝4⎭⎝4⎭⎝4⎭⎝4⎭

当n 为偶数时，设n =2k (k ∈z )，同理可得原式=0。 1０. 求证：

tan αsin αtan α+sin α

=

tan α-sin αtan αsin α

sin 2αsin α

=证明：左边=

sin α-sin αcos α1-cos α

右边=

sin α+sin αcos α1+cos α(1+cos α)(1-cos α)sin α

===

sin αsin α1-cos α1-cos αsin 2α

所以原等式成立

n π

(n ∈N ) ，求f (1)+f (2)+ +f (2004)的值。 5

（2）已知θ∈(0,π),且sinθ,cosθ是关于x 的方程 5x 2-x+m=0的根, 求sin 3θ+cos3θ和tanθ的值.

１１．（1）已知f (n )=cos 解：（1）条件中的

n π

表示10条不同终边的角，这10条终边分成5组，每组互为反5

向延长线，余弦值的和为零. ∴f （1）+f（2）+„+f（2004）

= f（1）+f（2）+„+f（4）+f(5)+f(6)+ „ f(2004) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)

2π3π4π+cos +cos

5555

π2π2ππ=cos +cos -cos -cos =0

5555=cos

+cos

π

1⎧

sin θ+cos θ=⎪⎪5

（2）由韦达定理得:⎨ ①

⎪sin θcos θ=m ⎪5⎩

由(sinθ+cosθ) 2=1+2sinθcos θ得∴sin θcos θ=-

12m 12

=1+⇒m =- 2555

12

, 5

Sin 3θ+xos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ) =(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ) =⨯

13737

=

525125

又00,cosθ

sinθ-

==

7. 5

ππ，），β∈（0，π）使等式sin （3π－α）22

【探索题】是否存在α、β，α∈（－=2cos （

π

－β），cos （－α）=－2cos （π+β）同时成立? 若存在，求出α、β的值；2

若不存在，请说明理由.

解：由条件得

⎧⎪sin α=β，α=β.

①2+②2得sin 2α+3cos2α=2，∴cos 2α=∵α∈（－将α=

①②

1

. 2

ππππ，），∴α=或α=－. 2244

π

代入②得cos β=. 又β∈（0，π），

24

π

∴β=，代入①可知，符合.

6

将α=－

ππ

代入②得β=，代入①可知，不符合. 46

ππ

，β=. 46

综上可知α=

备选题:

已知sin α是方程5x 2+7x-6=0的根, 且α∈(0,

π

2

) , 求

15π

sin 2[(2k +) π-α]+cos 2(α-π) +cot 2(-α) 的值.

222

解:解方程5x 2+7x-6=0得,x 1=-2(舍),x 1=

3

=sin α. 5

1π

sin[(2k +) π-α]=sin(-α)

225π

cos(α-π) =cos(-α)

22cot(-α) =tan α2

∴所求式=1+tan2α=

π

1125

==2

3cos α1-() 2165