高中数学测试题及答案

发布时间: 2020-12-03 21:56 标签：测试题答案高中数学

实验高中数学试卷

一、选择题

1. 设集合A =x 2x +1

A ．x -3-3 D ．x x

1+x ) ）

（A ）(0,2)

（B ）[0,2]

（C ）(-1,2)

（D ）(-1,2]

{}{}

{}

{}{}

3. 已知直线3x +4y -3=0与直线6x +my +14=0平行，则它们之间的距离是（） A ．

1717

B． C．8 D．2 105

4. 函数f (x ) =log 4x 与f (x ) =4的图像（）

A 关于x 轴对称 B 关于y 轴对称 C 关于原点对称 D 关于直线y =x 对称 5. 圆C 1: x

+y 2=1与圆C 2:(x -3) 2+(y -4) 2=16的位置关系是（）

Ａ．外离Ｂ．相交Ｃ．内切Ｄ．外切

6. 在空间，下列命题正确的是（）

A. 平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行

7. 设a 为常数，函数f (x ) =x -4x +3. 若f (x +a ) 为偶函数，则a 等于（）

A. -2 B. 2 C. -1 D. 1

8已知f (x ) =2x -2，则在下列区间中，f (x ) =0有实数解的是（）．

A ．（－3，－2） B．（－1，0） C．（2，3） D．（4，5） 9. 一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）

则该几何体的体积（单位：m ）为（）

A ．

9797

B ．C ．D ．

2 2 3 4

10. 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x -3y =0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（）

A ．(x -3) +(y -) =1 B．(x -2)

+(y -1) 2=1

C ．(x -1) 2+(y -3) 2=1 11. 下列命题中错误的是（）.

D ．(x -) +(y -1) =1

A. 若m //n , n ⊥β, m ⊂α，则α⊥β B. 若α⊥β，a ⊂α，则a ⊥β C. 若α⊥γ，β⊥γ，α β=l ，则l ⊥γ

D. 若α⊥β，a β=AB，a //α，a ⊥AB ，则a ⊥β

12. 函数y=f(x)与y=g(x)的图象如所示：则函数y=f(x)·g(x)的图象可能为( )

二、填空题

13. 已知函数y =log a (x +3) -a >0, a ≠1）

的图像恒过定点A ，若点A 也在函数f (x ) =3+b 的图像上，则f (log32) 14. 比较() ,log 3

，log 34三个数，按从小到大的顺序是____________________ 4

15. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为____________

16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x +y =4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c

的取值范围是

三、解答题

17. 已知集合A =x -41，C =x m -1

（Ⅰ）若A C =∅，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若(A B )⊆C ，求实数m 的取值范围.

18. 如图，在 OABC 中，点C （1，3）．

（Ⅰ）求OC 所在直线的斜率；

（Ⅱ）过点C 做CD ⊥AB 于点D ，求CD 所在直线的方程．

19. 一片森林面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐面积的百分比相等，则砍伐到面积的一半时，所用时间是T 年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的

{}{}{}

．已知到今4

年为止，森林剩余面积为原来的

2． 2

（Ⅰ）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（Ⅱ）今后最多还能砍伐多少年？

20. 如图甲，在直角梯形PBCD 中，PB //CD ，CD ⊥BC ，BC =PB =2CD ，A 是PB 的中点. 现沿AD 把平面PAD 折起，使得PA ⊥AB （如图乙所示），E 、F 分别为BC 、AB 边的中点.

（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）在PA 上找一点G ，使得FG //平面PDE .

图甲

图乙

21. 已知圆C :(x -3) 2+(y -4) 2=4和直线l :x +2y +2=0，直线m ，n 都经过圆C 外定点A(1，0) ．

（Ⅰ）若直线m 与圆C 相切，求直线m 的方程；

（Ⅱ）若直线n 与圆C 相交于P ，Q 两点，与l 交于N 点，且线段PQ 的中点为M ，求证:AM ⋅AN 为定值．

22. 已知a ∈R ，函数f (x ) =x x -a

（Ⅰ）当a =2时，写出函数y =f (x ) 的单调递增区间；（Ⅱ）当a >2时，求函数y =f (x ) 在区间[1, 2]上的最小值；

（Ⅲ）设a ≠0，函数f (x ) 在(m , n ) 上既有最大值又有最小值，请分别求出m 、n 的取值范围（用a 表示）.

参考答案：

BDDDD DBBAB BA 13.1；14. log 3

15. 16. （-13，13） 44

17. 解：（Ⅰ） A C =∅, ∴m +1≤-4或m -1≥2 ∴m ≤-5或m ≥3，

故实数m 的取值范围是m m ≤-5或m ≥3. （Ⅱ）由题意，得A B =x

{}

⎧m -1≤1

，

⎩m +1≥2

∴1≤m ≤2，故实数m 的取值范围是{m ≤m ≤2}.

18. 解: (1) 点O （0，0），点C （1，3），∴ OC 所在直线的斜率为k OC =

3-0

=3. 1-0

（2）在 OABC 中，AB //OC , CD ⊥AB ，∴ CD ⊥OC . ∴ CD 所在直线的斜率为

即x +3y -10=0. k CD =-. ∴CD 所在直线方程为y -3=-(x -1) ，

19. 设每年降低的百分比为x （0

(1)设经过M 年剩余面积为原来的

112T

．则a (1-x ) =a ⇒T lg(1-x ) =lg .

222

又a (1-x )

22T 1T

．∴a ⇒M lg(1-x ) =lg =log 2=2⇒M =

22M 222

年． 2

∴到今年为止，已砍伐了

(2)设从今年开始，以后砍了N 年，则再砍伐N 年后剩余面积为

a (1-x ) N ． 2

由题意，有

2121a (1-x ) N ≥a , 即(1-x ) N ≥ 2424

1121T 1

⋅() ≥．由(1)知(1-x ) =⇒1-x =() T ．∴

22224N 33111

化为() T ≥=() 2 ∴≤⇒N ≤T

T 222222

故今后最多还能砍伐

T 年． 2

20. （Ⅰ）证明：在图甲中，由已知ABCD 为矩形，则PA ⊥AD ，折起到图乙后仍有PA ⊥AD ，又PA ⊥AB ，所以PA ⊥平面ABCD （Ⅱ）PA 上靠近点A 的四等分点 21. 解：（Ⅰ）①若直线m 的斜率不存在，即直线是x =1，符合题意．

②若直线m 斜率存在，设直线m 为y =k (x -1) ，即kx -y -k =0．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l 1的距离等于半径2，即：

=2, 解之得 k =

．所求直线方程是x =1，3x -4y -3=0． 4

（Ⅱ）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 可设直线方程为kx -y -k =0

由⎨

⎧y =kx -k ⎧x +2y +2=02k -23k

, -) ．再由⎨ 得N ( 22

2k +12k +1⎩(x -3) +(y -4) =4⎩kx -y -k =0

得(1+k 2) x 2-(2k 2+8k +6) x +k 2+8k +21=0．

2k 2+8k +6k 2+4k +34k 2+2k

, ) ．

∴ x 1+x 2= 得M (222

1+k 1+k 1+k

∴ AM ⋅AN

==6为定值． |2k +1|

解法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 可设直线方程为kx -y -k =0

由⎨

⎧x +2y +2=02k -23k

, -) ．又直线CM 与l 1垂直，得N (2k +12k +1⎩kx -y -k =0

⎧y =kx -k

k 2+4k +34k 2+2k ⎪

, ) ．

由⎨ 得M (122

1+k 1+k y -4=-(x -3) ⎪k ⎩

k 2+1

∴ AM ⋅AN =|y M -0||y N -0=|y M ⋅y N |

k 2

4k 2+2k 3k k 2+1=|⋅(-) |2=6，为定值．

1+k 22k +1k

解法三：用几何法，如图所示，△AMC∽△ABN，则

可得AM ⋅AN =AC ⋅AB =AM AC

=，

AB AN

=6，是定值． 22. (Ⅰ)解：当a =2时，f (x ) =x |x -2|=⎨

⎧x (x -2), x ≥2

x (2-x ), x

由图象可知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）（开区间不扣分）

a 2a 22

(Ⅱ)因为a >2,x∈[1，2]时，所以f(x)=x(a-x)=-x+ax＝ -(x -) + …（6分）

a 3

当122a 3

当>，即a >3时，f (x ) min =f (1) =a -1

⎧2a -4,2

f (x ) min =⎨

⎩a -1, a >3⎧x (x -a ), x ≥a

(Ⅲ)f (x ) =⎨

x (a -x ), x

①当a >0时，图象如右图所示 ⎧a 2

(2+1) a ⎪y =

由⎨得x = 4

2⎪y =x (x -a )

⎩

a 2+1

a ∴0≤m

②当a

(1+2) ⎪y =-

x =a 由⎨得4

2⎪y =x (a -x )

⎩

a 1+2

a ≤m

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