人教版高中数列知识点总结(知识点+例题)

Lesson6 数列

知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式

如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式a n ＝a 1＋(n －1) d .

3．等差中项

a ＋b

如果 A ＝2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋（n-m ）d ，(n ，m ∈N *) ．

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *) ，则 (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为.

(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．

(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，„(k ，m ∈N *) 是公差为的等差数列．

5．等差数列的前n 项和公式

n (a 1＋a n )n (n －1)

设等差数列{a n }的公差d ，其前n 项和S n 或S n ＝na 1＋22.

6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系

d d 2⎛

S n 2＋ a 1－2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数) ．

⎝⎭

7．等差数列的最值

在等差数列{a n }中，a 1>0，d 0，则S n 存在最 小 值．

[难点正本 疑点清源] 1．等差数列的判定

(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2) ； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.

2．等差数列与等差数列各项和的有关性质

(1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，„仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，„也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1) a n .

n

(4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝2. 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项) ．

31

例1（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝5a n ＝2－ (n ≥2，

a n －1

1

n ∈N *) ，数列{b n }满足b n ＝(n ∈N *) ．

a n －1

(1)求证：数列{b n }是等差数列；

(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．

11

(1)证明 ∵a n ＝2－ (n ≥2，n ∈N *) ，b n ＝.

a n －1a n －1

11

∴n ≥2时，b n －b n －1＝a n －1a n －1－1

11

＝1a n －1－1⎛

2a －1⎝n －1⎭a n －11－＝1. a n －1－1a n －1－1

5

∴数列{b n }是以－2为首项，1为公差的等差数列．

712

(2)解 由(1)知，b n ＝n －2，则a n ＝1＋b 1＋

2n －7n

2

设函数f (x ) ＝1＋

2x －7

7⎛7⎛⎫

易知f (x ) 在区间 －∞，2和 2，＋∞⎪内为减函数．

⎝⎭⎝⎭

∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.

例2（等差数列的基本量的计算）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{an }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.

(1)若S 5＝5，求S 6及a 1 (2)求d 的取值范围．

－15

解 (1)由题意知S 6＝S 3，a 6＝S 6－S 5＝－8.

5

⎧5a 1＋10d ＝5，所以⎨

⎩a 1＋5d ＝－8.

解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)方法一 ∵S 5S 6＋15＝0，

∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d ) ＋15＝0，

2

即2a 21＋9da 1＋10d ＋1＝0.

因为关于a 1的一元二次方程有解，所以 Δ＝81d 2－8(10d 2＋1) ＝d 2－8≥0，

解得d ≤－22或d ≥2. 方法二 ∵S 5S 6＋15＝0，

∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d ) ＋15＝0， 9da 1＋10d 2＋1＝0.

故(4a 1＋9d ) 2＝d 2－8. 所以d 2≥8.

故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2.

例3（前n 项和及综合应用）(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．

解 方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，

10×915×145

∴10×20＋2d ＝15×20＋2d ，∴d ＝－3.

565⎛5∴a n ＝20＋(n －1) × －3＝－3＋3⎝⎭

∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n

12×11⎛5⎫

∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×202× －3⎪

⎝⎭

＝130.

5

方法二 同方法一求得d ＝－3n (n －1)⎛52523 125521255－n － ∴S n ＝20n 2·3＝－6n ＋6＝－6＋242⎝⎭⎝⎭

∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1) －25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.

所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列． ⎧a n ＝4n －25

11

由①得n

n (n －1)

⎧21n ＋⎪2×(－4) (n ≤6)T n ＝⎨(n －6)(n －7)

66＋3(n －6)＋×4 (n ≥7)⎪⎩2

2

⎧－2n ＋23n (n ≤6)，＝⎨2 ⎩2n －23n ＋132 (n ≥7).

例4，已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 3

例5等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为{S n },{T n }，且

S n a =, 则使得n 为正T n n -3b n

整数的正整数n 的个数是 3 . （先求an/bn n=5,13,35）

已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握. 一般有三常见思路：

(1)算出前几项，再归纳、猜想；

(2)“a n+1=pa n+q ”这种形式通常转化为an +1+λ=p (an +λ), 由待定系数法求出, 再化为等比数列； (3)逐差累加或累乘法.

2S n

例6 已知数列{a n }中，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足a n =，则数列{a n }a 1=，

n 的通项公式为

2

⎧(n =1)⎪a n =⎨3

(n ≥2)⎪

⎩1-4n 2

S n -S n -1

22S n =

2S n -1

⇒S n -1-S n =2S n S n -1⇒

11-=2(n ≥2) S n S n -1

⇒S n =

. 2n +1

a a a a

a n =n ⋅n -1⋅ ⋅3⋅2⋅a 1, n ≥2.

n -1n -221

2+ln n

例7在数列{a n }中，a 1=2，a n +1=a n +ln(1+) ，则a n =n

知识点2：等比数列及其n 项和 1．等比数列的定义 2．等比数列的通项公式 3．等比中项

若G 2＝a ·b (ab ≠0) ，那么G 叫做a 与b 的等比中项．

4．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a n q n

－m

，(n，m ∈N *) ．

(2)若{an }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k，l ，m ，n ∈N *) ，则a k ·a l ＝a m ·a n . (3)若{an }，{bn }(项数相同) 是等比数列，则{λan }(λ≠0) ，

⎧1⎫⎧a n ⎫2⎨，{an }，{an ·b n }，⎨b 仍是等比数列． ⎩a n ⎭⎩n ⎭

5．等比数列的前n 项和公式

等比数列{an }的公比为q(q≠0) ，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；

a 1(1－q n )a 1－a n q

当q ≠1时，S n ＝＝.

1－q 1－q

6．等比数列前n 项和的性质

公比不为－1的等比数列{an }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q .

n

7. 等比数列的单调性

【难点】

1．等比数列的特征

从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非常数． 2．等比数列中的函数观点

利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3．等比数列的前n 项和S n

(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．

n

a (1－q )a 1－a n q 1n －1

(2)等比数列的通项公式a n ＝a 1q 及前n 项和公式S n ＝＝ (q ≠1)

1－q 1－q

共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，知三求二，体现了方程的思想的应用．

(3)在使用等比数列的前n 项和公式时，如果不确定q 与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q ＝1和q ≠1两种情况．

例1：(1)在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求{a n }的前8项和S 8； (2)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3 280，且前n 项中数值最大的项为27，求数列的第2n 项． (1)设数列{a n }的公比为q ，

由通项公式a n ＝a 1q n －1及已知条件得：

32

⎧a 6－a 4＝a 1q (q －1)＝24， ①⎨

a 5＝(a 1q 3)2＝64. ②⎩a 3·

由②得a 1q 3＝±8.

将a 1q 3＝－8代入①式，得q 2＝－2，无解将a 1q 3＝8代入①式，得q 2＝4，∴q ＝±2. ，故舍去．

当q ＝2时，a ＝1，∴S a 1(1－q 8)

181－q 255；

当q ＝－2时，a ，∴S a 1(1－q 8)

1＝－181－q 85.

(2)若q ＝1，则na 1＝40,2na 1＝3 280，矛盾． ⎧ ①

∴q ≠1，∴⎨⎪a 1(1－q n )1－q ＝40， ⎪⎩a 1(1－q 2n )

1－q ＝3 280， ②

②①

1＋q n ＝82，∴q n

＝81， ③ 将③代入①得q ＝1＋2a 1. ④

又∵q >0，∴q >1，∴a 1>0，{a n }为递增数列． ∴a n ＝a 1q n －1＝27， ⑤ 由③、④、⑤得q ＝3，a 1＝1，n ＝4. ∴a 2n ＝a 8＝1×37＝2 187.

例2 已知数列{an }的前n 项和为S n ，数列{bn }中，b 1＝a 1，b n ＝

a n －a n －1 (n≥2) ，且a n ＋S n ＝n.

(1)设c n ＝a n －1，求证：{cn }是等比数列； (2)求数列{bn }的通项公式． 1) 证明 ∵a n ＋S n ＝n ， ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1. ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，

∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(an ＋1－1) ＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12

，∴{an －1}是等比数列． ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1，

∴a 1111＝2，∴c 12q ＝2又c n ＝a n －1，

∴{c是以－11

n }2为首项，2为公比的等比数列．

(2)解 由(1)可知c n ＝⎛ 1⎛1⎝－2⎭ n －1⎝⎭＝－⎛ 12⎝2n ⎭， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎛ 1⎝2n ⎭

. ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1

＝1－⎛ 1n ⎡⎛1⎝2⎭－⎢⎣1－ ⎝2n －1⎤⎭⎥⎦＝⎛ 1⎝2⎫⎪n －1⎭－⎛ 1⎝2⎫⎪n ⎭＝⎛ 1⎫n ⎝2⎪⎭. 又b 11＝a 1＝⎛12∴b n ＝ 2n ⎝⎭

.

① ②

1

例3 在等比数列{a n }中，(1)若已知a 2＝4，a 5＝－2，求a n ； (2)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．

a 1

解 (1)设公比为q ，则a q 3，即q 3＝－8，

2

1⎛1－－

∴q ＝－2，∴a n ＝a 5·q n 5＝ －2n 4.

⎝⎭2

(2)∵a 3a 4a 5＝8，又a 3a 5＝a 4，∴a 34＝8，a 4＝2.

5

∴a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝2＝32.

a n ＋a n ＋1

例4已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 规范解答

(1)证明 b 1＝a 2－a 1＝1， [1分]

a n －1＋a n

当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝2－a n

11

＝－2(a n －a n －1) ＝－2b n －1， [5分]

1

∴{b n }是首项为1，公比为－2 [6分]

⎛1⎫

(2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝ －2⎪n －1， [8分]

⎝⎭

当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1) ＋(a 3－a 2) ＋„＋(a n －a n －1) [10分]

⎛1n －1 －21－

⎝⎭⎛1⎛1n －2

＝1＋1＋ －2＋„＋ －2＝1＋⎝⎭⎝⎭⎛1⎫

1－ －2⎪⎝⎭

2⎡521⎛1⎤521＝1＋3⎢1－ －2n －1⎥＝33－2n －1当n ＝1时，33－21－1＝1＝a 1，

⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎝⎭521∴a n 33－2n －1 (n ∈N *) ． [14分]

⎝⎭

例4 （07 重庆11）

设是1-a 和1+a 的等比中项，则a +3b 的最大值为 2 .（三角函数）

2233

例5 若数列1, 2cosθ, 2cos θ,2cos θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为

（ ）

, 的三内角成等差数列例26 , 三边成等比数列, 则三角形的形状为__等边三角形k π△±k ∈Z __________.

【综合应用】

例7. 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；

c 1c 2c n

(2)设数列{c n }对n ∈N 均有b b b a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋„＋c 2 013.

12n

解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d ) 2＝(1＋d )(1＋13d ) ．解得d ＝2 (∵d >0). ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.

又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3， ∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.

c c c 2) 由b b „＋b a n ＋1得

12n

c n －1c c 当n ≥2时，b b „＋＝a .

b n －1n 12

c 两式相减得：n ≥2时，b a n ＋1－a n ＝2.

n

n －1

∴c n ＝2b n ＝2·3 (n ≥2) ．

c 1

又当n ＝1时，b ＝a 2，∴c 1＝3.

1

⎧3 (n ＝1)∴c n ＝⎨n －1.

3 (n ≥2)⎩2·

∴c 1＋c 2＋c 3＋„＋c 2 013

6－2×32 013

＝3＋＝3＋(－3＋32 013) ＝32 013.

1－3

知识点3：数列的基本知识

*

1，a n 与S n 的关系：a n =S 1(n =1) 或S n -S n -1

例1：设{a n }数列的前n 项和S n =n 2，则a 8的值为2，数列的递推公式及应用：利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有三种方法：累加法，累积法，构造法

①对形如a 1=a ; a n +1=pa n +q 的递推公式(p . q 为常数且p ≠1)，可令整理得λ=a n +1+λ=p (a n +λ)，列

②对形如a n +1=

⎧1⎫

求出⎨⎬即可

⎩a n ⎭

q

, a n +1+λ=p (a n +λ)，所以是{a n +λ}等比数p -1

a n 1q

的递推公式，两边取倒数后换元转化为再=p +，

a n +1a n pa n +q

例2：已知数列{a n }满足a 1=33, a n +1-a n =2n ，则

a n

的最小值为 10.5 n