辅助资料2C:数控机床闭环进给伺服系统运动误差的研究

补充内容：

数控机床闭环进给伺服系统轮廓误差分析

1．闭环位置控制的数学模型

典型X 轴位置闭环控制简化数学模型如图1所示。

图1 简化位置闭环控制数学模型

其中，K p 为控制器内部的软件位置增益，可用于调整系统位置环的开环增益；K da （V/P）为数模转换系数；K e （P/R）为位置编码器的脉冲数；K n （V/RPM）为速度反馈系数；K s 为速度调节器增益；K b （V/RPM）为反电势常数；R a （Ω）为电枢回路电阻；K q （Nm/A）为电机力矩常数；J （Kg•m2）为转动惯量。

速度闭环控制模型可简化为：W (s ) =

K m

τs +1

其中K m 为每伏电压对应电机转速 K m =

K s

K b +K s K n

τ为时间常数 τ=

JR a

K q (K b +K s K n )

位置闭环控制的开环增益

K =K p K da K m K e 。

当不考虑速度闭环控制模型时间常数τ时，位置控制开环传递函数为G k =K /s ，其闭环传递函数为如下一阶模型：

G (s ) =

其中 T =1/K

1

(1) Ts +1

当考虑速度闭环控制模型时间常数τ时，位置控制开环传递函数为G k =K /[s (τs +1)]，其闭环传递函数为二阶模型：

2ωn

G (s ) =2

(2) 2

s +2ξωn s +ωn

其中

ξ=

11

ωn =

2K τ

K

τ

在数控系统中X 、Y 轴通常具有同样的上述位置闭环控制数学模型，因此由X 、Y 两轴独立位置闭环控制组成的系统如图2所示。

图2 两轴闭环位置系统

其中X i 、X 分别是X 轴的输入输出，Y i 、Y 分别是Y 轴的输入输出，下面模型参数以下标x 或y 区分其为X 或Y 轴参数。

2．直线插补运动的轮廓误差

图1所示闭环系统的误差传递函数：

G e (s ) =

X (s ) E (s ) 1

(3) =1-o =

X i (s ) X i (s ) 1+G k (s )

1

(4)

s 1+G k (s ) 直线插补时，根据拉氏变换终值定理

e (∞) =lim sE (s ) =lim

s →0

s →0

当进行XY 轴直线联动插补时，对应X 、Y 轴的指令为斜坡输入，即

X i (t ) =V x t Y i (t ) =V y t

由式4，对一阶模型和二阶模型，其稳态误差均为 E x =V x /K x E y =V y /K y

设运动直线如图3所示，与X 轴的夹角为θ，合成进给速度为V ，则有运动轮廓误差为

E =E y cos θ-E x sin θ=

V y V x K y V

-

V x V y K x V

=

V cos θ⋅V sin θV sin θ⋅V cos θ

-

K y V K x V

V sin(2θ) K x -K y

(5) =

2K x K y

图3 直线运动的轮廓误差

由式5可知

（1）当K x =K y ，即两轴增益相等（既ξx /ωnx =ξy /ωny ）时，两轴跟随误差的滞后效应抵消，稳态轮廓误差为零，J x 、J y 的不匹配对稳态轮廓误差没有影响；

（2）当sin(2θ)=0，即θ=0或90º时，则E=0，这具有明显的物理意义；

（3）实际系统中很难保证K x 、K y 完全相等，可以看出，只要K x 、K y 足够大，轮廓误差就会很小，因此尽可能选择较高的增益或使两轴增益尽可能一致均可减小轮廓误差； （4）轮廓误差与运动速度成正比；

3．圆弧插补运动的轮廓误差

圆弧插补运动的轮廓误差主要包括伺服系统有限带宽引起的圆弧半径误差和运动轴性能不匹配引起的椭圆误差。考虑沿半径为R 的圆弧进行角速度为ω的运动，圆心坐标为（0，0），X 、Y 轴的指令输入及初始条件为

x i (t ) =R cos(ωt ) 且x i (0) =R ， x i (0) =0； y i (t ) =R sin(ωt ) 且y i (0) =0， y i (0) =R ω。

稳态输出为

∙

∙

x (t ) =R x cos(ωt -φx ) =R x [cosωt ⋅cos φx +sin ωt ⋅sin φx ] (6)

y (t ) =R y sin(ωt -φy ) =R y [sinωt ⋅cos φy -cos ωt ⋅sin φy ] (7)

这里R x 、R y 为输出幅值，φx 、φy 为滞后相位。 由式6、式7得

cos ωt =

1

[R y cos φy ⋅x (t ) -R x sin φx ⋅y (t )] (8)

R x R y cos(φx -φy )

1

[R y sin φy ⋅x (t ) +R x cos φx ⋅y (t )] (9)

R x R y cos(φx -φy )

sin ωt =

且输出轨迹为下列方程

222222R y x +R x y -2R x R y sin(φx -φy ) xy =R x R y cos 2(φx -φy ) (10)

对一般二次曲线方程有

a 11x 2+2a 12xy +a 22y 2+2a 13x +2a 23y +a 33=0 (11) 将坐标系oxy 绕原点o 旋转角度θ到新坐标系o'x'y' ，则有

x =x ' c o θs -y ' s i n θ

(12)

y =x ' s i n θ+y ' c o θs

将式2.12代入2.11得

a 11' x ' 2+2a 12' x ' y ' +a 22' y ' 2+2a 13' x ' +2a 23' y ' +a 33' =0 (13)

其中：

a 11' =a 11cos 2θ+2a 12cos θsin θ+a 22sin 2θa 12' =(a 22-a 11) sin θcos θ+a 12(cos2θ-sin 2θ)

a 22' =a 11sin 2θ-2a 12sin θcos θ+a 22cos 2θa 13' =a 13cos θ+a 23sin θa 23' =-a 13sin θ+a 23cos θa 33' =a 33

由式13可以看出如下规律：

（1）式13方程二次项系数仅与原方程二次项系数及旋转角θ有关，与一次项系数和常数无关。 （2）式13方程一次项系数仅与原方程一次项系数及旋转角θ有关，与二次项系数和常数无关。 （3）当原方程一次项系数不为零时，通过坐标轴旋转不能完全消除一次项系数；同样当原方程一次项系数为零时，坐标轴旋转后一次项仍为零。

（4）坐标轴旋转后方程的常数项不变。

（5）当a 12≠0时，通过坐标轴旋转可消除交叉乘积项。既当θ=

a -a 221

时 arcctg 11

22a 12

a 12' =(a 22-a 11) sin θcos θ+a 12(cos2θ-sin 2θ)

=

1

(a 22-a 11) sin 2θ+a 12cos 2θ=0 (14) 2

对照式10、式11，当坐标系旋转角度

22R y -R x 1

θ=arcctg (15)

2-2R x R y sin(φx -φy )

式10变换为标准的椭圆方程。由此可见，一般地说圆弧实际运动的轨迹为以原点为中心，长轴

或短轴在角度θ处的椭园。

3．1 一阶模型圆弧运动误差分析

当图2中G x (s)、G y (s)为式1所示一阶模型时，沿半径为R 的圆弧进行角速度为ω的运动，其稳态输出为

x (t ) =

R +(ωT x )

R +(ωT y )

2

2

cos(ωt -φx ) tan φx =ωT x (16)

y (t ) =

cos(ωt -φy ) t a n φy =ωT y (17)

当T x =T y =T 时

φx =φy ，且R ' =R x =R y =

2

2

R +(ωT )

2

2

由式10可知此时轨迹方程为 x +y =R ' 圆的半径误差为

1F 2T 22

∆R =R -R ' =R [1-]≈R (ωT ) = (18)

222R +(ωT )

1

可见，当两轴匹配时，实际运动轨迹为圆，其半径总是比指令圆弧半径值小，半径误差随时间

常数和进给速度的增大而增大。显然，这是由伺服系统有限带宽引起的圆弧半径误差。

3．2 二阶模型圆弧运动误差分析

当图2中G x (s)、G y (s)为式2所示二阶模型时，沿半径为R 的圆弧进行角速度为ω的运动，其稳态输出为

x (t ) =

2R ωnx

(ω-ω) +(2ξx ωnx ω) 2nx

222

cos(ωt -φx ) =R x cos(ωt -φx )

其中 tan φx =

2ξx ωnx ω

2

ωnx -ω2

2

R ωny

y (t ) =

(ω-ω) +(2ξy ωny ω)

2ξy ωny ω

2ωny -ω2

2ny

222

cos(ωt -φy ) =R y cos(ωt -φy )

其中 tan φy =

当ξx =ξy =ξ ， ωnx =ωny =ωn 时，则φx =φy

由式10可知其运动轨迹为圆，其轨迹方程为x 2+y 2=R ' 2

R ' =R x =R y =

2R ωn

(ω-ω) +(2ξωn ω) 2n

222

=+(2ξ

R

ω2ωω) -2() 2+() 4ωn ωn ωn

(19)

可见，当两轴匹配时，实际稳态运动轨迹为圆，但显然圆的半径存在误差。 图4为两轴匹配且ωn =145时，对不同的ξ值，R ' /R 随运动角速度ω的变化曲线

图4 两轴匹配时R ' /R 随ω的变化曲线

当ξ≤0. 707时，二阶系统的谐振频率ωr 和谐振峰值M r 分别为

ωr =ωn -2ξ2

M r =

12ξ-ξ

2

因此，圆的轨迹误差是由于幅频特性不等于1引起的。因此当阻尼比较小时，通常情况下圆的运动半径大于指令半径。

由于当ξ>0. 707时，系统不产生谐振。显然，此时圆的半径小于指令半径。通过调整系统增益使得ξ=0. 707，从而在不产生谐振的条件下，得到更宽的频带。

从式19可以看出，当ξ=0. 707时

R ' =R x =R y =

R +(

ω4

) ωn

(20)

当ω

但在大多数的应用中，很难保证两轴完全匹配。例如在立式数控铣床和加工中心中，X 轴的惯性负载通常远大于Y 轴，即J x ≠J y 。在此情况下，通过调整位置增益满足两轴匹配条件需要同时满足

ωnx =ωny ， ξx =ξy

即

K x J x

(21) =

K y J y

K x J y

(22) =

K y J x

显然式21与22不可能同时成立，而使两轴匹配条件完全满足。

由上可见，虽然通过精心调整，常规位置控制算法可以满足通常数控机床轮廓加工的需要。但随着现代机械加工对加工精度和加工效率要求的不断提高，常规位置闭环控制算法已不相适应，因此对新的控制算法进行研究就显得非常必要。

4．仿真研究

4．1 仿真数学模型 图5为数控机床所采用的典型双环(电流环、速度环) 进给伺服单元的传递函数数学模型。其中In1为负载干扰力矩，In2为数控装置位置闭环控制电压，Out1为转速输出。

图5 典型双闭环伺服单元数学模型

取K x 、K y 为软件增益，由16位DAC 所产生的转换系数为0.0001526，K xe 、K ye 为位置传感器（8mm/r）的检测系数，ScopeError 为轮廓误差值。

4．2 伺服系统及传动机构对圆弧运动精度的影响分析

加工整圆（标准圆）并检查其误差分布是数控机床精度综合检验最常用的方法。设顺时针加工半径为100mm 的整圆，运动角频率为ω，X i =100sin(ωt ) ，Y i =100cos(ωt ) 。下面讨论位置开环增益对圆弧运动精度的影响。

(1) 当K x =K y =62时，随角频率ω的变化轮廓误差的变化如表1，所对应的关系曲线如图6b 。图6a 为ω=0. 05时轮廓误差ScopeError(t)的变化曲线。

表1：角频率ω与轮廓误差的关系

a. 轮廓误差的变化曲线 b. 随角频率的变化轮廓误差的变化

图6 随角频率ω 的变化轮廓误差变化曲线

(2) 当K x ≠K y ，且ω=0. 1时，轮廓运动误差ScopeError(t)如图7；各轴增益与轮廓误差的关系如表2；图8为当K x =62时对于不同的K y ，轮廓误差最大值与最小值的变化曲线。

表2：K x ≠K y 时各轴增益与轮廓误差的关系

a. K x >K y 时轮廓误差的变化 b. K x

图7 K x ≠K y 时轮廓误差的变化曲线

图8 随K y 的变化轮廓误差最大值与最小值的变化曲线

根据上述曲线分析，可得出如下结论：

——当K x =K y 时，圆的半径误差为一恒定值，且随着角频率的增加而增加；

——当K x ≠K y 时，圆的半径误差明显增加且呈正弦规律变化，即实际运动轨迹为一椭圆；

——当K x >K y 时，正最大误差处在椭圆的长轴，即大约在45°、225°位置上； ——当K x

5．结论

目前数控机床进给运动大多采用各轴独立的跟随控制，本文对此类常规跟随控制算法由于有限带宽和各轴特性不匹配所引起的轮廓误差特性进行了理论分析，并讨论了其内在的规律。事实上，还有许多因素均会对进给运动精度产生重要影响，如导轨的非线性摩擦特性等。因此有必要进一步研究各种先进的控制与补偿算法，以提高伺服运动轴的动态性能，从而达到改善轮廓运动精度的目的。此外，从本质上看，跟随控制仍然是轮廓开环控制系统；通过对轮廓误差的计算或估计，向各轴提供附加轮廓误差补偿信息，从而实现系统的轮廓闭环控制也是重要的研究方向。

参考文献

[1]Gene F.Franklin and J.David Powell. Digital Control of Dynamic systems(Third Edition)[M]. Copyright 1998 by Addison Wesley Longman,Inc.

[2]Kaan Erkorkmaz and Yusuf Altintas. High speed CNC system design. Part Ⅱ: modeling and identification of feed drivers[J]. International Journal of Machine tools & Manufacture 41(2001): 1487-1509

[3]Kaan Erkorkmaz and Yusuf Altintas. High speed CNC system design. Part Ⅲ:high speed tracking and contouring control of feed drivers[J]. International Journal of Machine tools & Manufacture 41(2001) 1637-1658

[4]H - Ju Na and Chong-Ho Choi. Contour Error Analysis and Gain Tuning for CNC Machining Center[J]. AMC'96-MIE: 197-202

[5]Y. Koren. Cross-coupled biaxial computer for manufacturing systems[J]. ASME J. Dynamic Syst, Measurement, Contr., 1980, Vol.102, NO.4: 256-272.

[6]李宏胜. 数控机床轮廓插补运动精度的分析与研究[J]. 机械制造，2002，40(10)：10-12