城市交通发展的优化模型与政策研究

城市交通发展的优化模型与政策研究

（张媛 吕慧洁 谢莉娟 同济大学数学系理科班）

摘要：本文就公交财政补贴、限制私家车发展、公交轨交分担率三个城市交通发展的优化问题建立了数学模型，在补贴、扩路、收费、征税等政策背景和博弈理论、成本理论等经济学背景下，以上海市道路交通的相关数据为基础，根据相关模型刻画了现有上海市交通状况的数学关系和政策目标的量化实现条件，并据此给出了具体的实施方案和政策建议。

关键词：公共交通；补贴；边际成本；分担率；

Abstract: this paper discuss the optimized mathematical models focusing on the problems of public transportation subsidies, private cars restrictions as well as the share rate between bus and track. According to the actual data of the city Shanghai in recent years, we consider several policies including subsidies, road expanding, charging and taxation in the background of game theory and cost theory, and give the concrete quantitative relations of transportation in Shanghai. From the quantitative conditions of policy aims expressed, recommendations are listed for efficient policy making.

Keyword: public transportation, subsidies, marginal cost, share rate

1. 背景

交通出行需求的激增伴随着汽车业的蓬勃发展，使得北京、上海、广州等特大城市的交通系统开始面临前所未有的挑战。“优先发展公共交通系统”“限制私家车发展”“新增道路建设”等理念成为这些大都市应对交通压力的共同选择，在此背景下，“公交补贴”、“免费公交”、“单双号”、“摇号”“修路”等措施应运而生，然而由于缺乏全面、量化的考虑，许多具体政策在实施过程中带来了负面的社会效应，造成社会资源的浪费甚至干扰了正常的交通运行秩序；还有一些需要财政的大规模投入，给财政带来巨大压力的同时难以保证政策的持久性实施。因此如何统筹城市交通发展，改善道路通行状况，满足日益增长的出行需求并提高出行质量，迫切需要就财政补贴与公交效率、道路新建与私家车发展、轨道交通与地面交通的分担等问题给出模型的刻画与量化的讨论，为制定实施科学可行的政策法案提供有力支持。

2. 问题与假设

2.1问题重述

考虑一个城市的公共交通系统，政府可以通过财政补贴的方式降低公共交通系统的使用费用来缓解城市的交通压力，但如果完全放弃收费可能会导致公共交通系统的崩溃，如广州亚运会前发生的情况。选择以上海市的交通运营发展情况为例，根据相关实际数据，刻画上述关系，并给出分析建议报告

2.2问题假设

我们将此问题的讨论拆分成3个分析决策层面，以此出发分别给出假设，并在该假设的基础上讨论相关数量关系并给出改进方案。

2.2.1孤立整体公交系统层面

在此层面上公共交通系统（包括地铁、公交等）做为一个整体考虑，并且孤立于其他交通选择方式。即作此假设：选择公共交通的人群固定，每月有最低出行次数，且其不会选择其他出行方式代替公共交通满足其出行意愿；公交系统的票价并不受到其他其他竞争方式的干扰。从而得到了一个满足孤立系统中经济学理论讨论前提条件的系统。

2.2.2公共交通资源开放层面

在此层面上,假设交通系统中由公共交通系统和小轿车两部分构成，而不存在其他因素，公共交通系统作为一个整体（包括轨交和地面公交）和小轿车在共享新增基础设施建设资源上的同时存在着对新增资源的争夺。假设人们在上述出行选择考虑上仅秉承价值规律选择（包括量化的时间成本等因素），而忽略了人们主观意愿的随机性。

2.2.3 轨交与公交二元层面

在此层面上的讨论都是基于上述求得的整体最优状况，即固定补贴额度和客运总量讨论轨交和公交的分担比。假设在两者相互影响的讨论中,不存在小轿车、路面占有率等第三方对其的影响，且其最优分担率的讨论和实现仅与人们的基于一个固定数量规律所作出的选择意愿有关，而忽略个体主观意愿的随机性。

2.3 模型符号说明

 ——居民出行效用函数

 Z——每月乘坐公共交通出行次数

 Zmax——每月乘坐公共交通出行次数上限

 M——居民每月总支出

 J——居民每月支出中除乘坐公共交通外的费用





 P0——每人次的公共交通成本 P——每人次的公共交通政府补贴 XB,XC——公交资源效用最大时地面公交，小汽车的个人边际成本

 YB,YC——公交资源效用最大时地面公交，小汽车的社会边际成本

XC——实际小汽车的个人边际成本 1

 Y——小汽车的平均每月成本中政府可调控总费用

 tB,tR——居民利用地面公交，轨道交通一次出行的时耗

 PR,PB——轨道交通，地面公交的客流分担率

CR,CB——利用轨道交通，地面公交出行广义费用 

3. 模型的建立与修正

3.1孤立公交系统的价格需求博弈模型。

在孤立公交系统层面上，基于假设2.2.1，我们给出如下重述

1) 选择公交出行的乘客人群固定，其将公交作为出行的唯一选择，且其每月至少乘公交出

行的次数为Z0。

2) 在这个人群中其出行意愿、次数与公交价格相互作用，且整个过程中票价的高低不受到

除乘客和公交公司外的第三方影响，最终可以使得体系中人均月乘公交次数和票价达到一个相互制衡的稳定状态。

基于上述假设体系中公交票价和乘客需求就符合一类经典的价格需求博弈模型，首先我们不考虑财政补贴票价，仅从供需出发作出如下讨论

设此模型中居民人均月可支配收入为M，公交票价为P博弈模型中的效用函数为，0，

其大小只与人均月乘车次数Z和月支出中除乘坐公共交通支出外的费用J相关，而且有满足： [1]

(Z,J)(ZZ0)J

其中，0,1

居民预算的约束函数为 MZP0J

根据K—T条件，有：

0J P00Z

记

，由上述最优化问题解得居民每月乘坐公共交通随票价变化规律满足为：

ZM

P0(1)Z0

进而计算出企业收入为：

ZP0M(1)Z0P0

3.1.1引入票价补贴情况下的修正模型

在上述模型中引入政府按次补贴，即设政府直接为每人次乘客进行财政补贴，即直接对票价额度进行补贴P，则 P0P,为上述人群实际支付票价，那么该模型可直接修正为

ZM(1)Z0 ① P0P

此时，企业总收入为：

ZP0MP0(1)Z0P0 P0P

政府补贴总数：

SZPMP

P0P(1)Z0P

居民乘车支出

Z(P0P)M(1)Z0(P0P)

下面我们根据2010年上海官方公布的实际原始数据，确定上述模型参数如下(见表一，数据来自上海统计年鉴2010)

表一 上海居民相关数据

我们首先对地面公交和轨道交通做一致化整体处理，且下面的讨论始终将公共交通系统作为一个整体讨论票价和人均月出行次数的关系。

根据地面交通和轨道交通的载客量作为权重计算出整个公交系统的平均票价（补贴后）为

P0PQ1Q2r1+r2=2.8元， Q1Q2Q1Q2

由表中数据可计算在上述平均票价下的人均月出行次数为

ZQ1Q23040次 C

Z的值代入①式内，解得参数 将P0P、

=0.0488。

由表中财政公交补贴每月总投入和居民月出行总次数可得到，平均每人次的公交交通补贴额为：

P8850.688元 Q1Q2

故认为公交系统的原始票价为P00.6882.83.488元。

由上述变量值带入①可绘制出如下曲线：

图一

由上述曲线可知，当政府补贴P趋近于3.5元时，可以观察得到人均每月出行次数Z趋于无穷大，即当票价趋近于免费时，会造成客流量的井喷进而导致公共交通系统的崩溃，类似于广州亚运会时出现的状况。

但若考虑实际情况下，整个公共交通系统的允许载客量受客观条件限制不可能随需求无限增长，同时在整个社会出行意愿增加情况下造成的堵塞拥挤等不舒适状况必然反过来作用于人群的出行意愿，阻止出行次数的增长，于是我们认为客流量随补贴增加的过程中趋于一个上限Zmax，并据此修正上述模型，构造阻止增长模型。

3.1.2阻滞增长修正模型

由式①得

dZM 2dP(P0P)

Z)Z，和人Zmax因为Z存在上限，所以我们在等式右边增长速度中引入阻滞增长项(1

均月出行次数上限Zmax，得到：

dZMZ(1)Z， 2dP(P0P)Zmax

根据上海交通运行状况分析，我们令Zmax60次，

由原始模型曲线经过点（0.688,40），我们以此点作为修正过程中的不动点带入上述修正模型，解得：

Z=Zmax

1+8.80951012e-rM

p0-p ②

用matlab绘制曲线（如下图）

图二

由图中看出，当补贴额度很小时（

因此，我们要在充分利用公共交通系统满足社会流动性需求和保证出行环境舒适之间找到一个平衡点，为此我们引入此平衡问题中的效益函数。

令 Z ，表示平均单位补贴对人均出行次数的贡献， 将②式代入中，得到关P

于P的函数关系，并绘制如下曲线：

图三

由上图中看出，当政府补贴很小时，效益趋于正无穷，但此时人均每月出行次数很小，显然公交资源没有被充分利用，所以考虑P0.2时的图像特性知，在P的增加过程中存在的最大值。关于P求导得

z PdrMrM2max2(1d+)PP12PP(1d)(P0P)2，其中，d8.809510e0

绘制的导数随P关系曲线：

图四

解得导数的零点为0.8086，对应效用函数的最大点处有：max(0.8086)66.54

此时，Z=53.8.83次，P=0.8086元

说明，当每人次政府补贴达到0.8086元时，公交资源得到最有效的利用，而且保证了环境的舒适度。在前面的计算中发现，现在的政府补贴为0.688元/人次，所以现有状况下，公交资源还没有得到最有效的利用，政府补贴还有较大的上调空间。

3.1.3地面公交和轨交的补贴分配方案

下面我们根据前述得到的对整个公共交通系统讨论的补贴方案，具体到地面交通和轨道交通的每种出行方式乃至每种票价上来，细化补贴额度和补贴方案。

分配原则1：根据地面公交与轨道交通各自的交通成本比例进行两个系统补贴分配，其中：

交通成本=补贴后票价客流量+政府补贴

根据当前上海市的地面公交和地铁票价，我们认为不考虑换乘地面公交的当前补贴后地面公交票价可直接认为是2元；轨道交通系统的票价取各种票价的按次数分布的中位数为4元。

根据表一相关补贴和客流量的数据，假设当前日均公交补贴中，地面公交补贴为x（万元），则轨道交通补贴为885-x（万元），则相关补贴和成本可分别表示为（见表二）：

表二 公交补贴

一个公正的财政补贴分配方案是根据地面公交与轨道交通的成本比例分配补贴额度，据此列出比例关系式：

x2770x



885x4516885x

解得：

x377

885x508

说明：在讨论中我们将地面公交和轨道交通分别当做两个整体，政府对地面公交的日均补贴得到为377万元，对轨道交通的日均补贴为508万元。将x=377带入上表中相关补贴和成本数据，并除以对应的日均客流量，得到作为地面公交系统和轨道交通系统分别整体讨论中的平均每人次的成本、补贴、现有票价对照表（表三）：

表三 地面公交、轨道交通价格表

3.1.4 按实际票价种类的补贴分配方案

上述讨论中无论是成本还是平均票价都是将地面公交和轨交分别作为一个整体讨论的补贴方案，而实际生活中成本和补贴的分配都应考虑不同里程数不同票价具体的分配数量，

据此我们讨论按现有票价种类分类的补贴分配方案 地面公交与轨道交通成本比为：

2770x

0.745

4516885x

770

假设地面交通与轨道交通的客流量比固定，即为1.5

516

根据地面公交和轨交的上述成本、客流分配比例，我们考虑在公交整体的票价处于3.1.2孤立公交系统阻滞修正补贴方案中最优点处的补贴额度讨论实际公交系统的具体补贴分配方案。 已知：

公交总补贴=每人次平均补贴×客流量

根据3.1.2已求出：当人均月出行次数Z=53.8038，每人次补贴额为P=0.8086时，整个公交系统的利用率和舒适度达到最优平衡状态。 考虑上海市选择公交出行的固定乘客人数C=960.66万人 此时，政府对公交系统的日总补贴为：

日总补贴=

平均补贴（人次）乘客数量每月乘客平均出行次数PCZ



30天30

0.8086960.6653.8038

=1393.14万元

30

根据地面公交与轨道交通成本比为0.745，将公交系统的日总补贴按比例分配，得到

地面公交补贴为 594.78万元 轨道交通补贴为 798.36万元 地面公交日均客流量Q11033.74万人

轨道交通日均客流量Q2689.16万人

表四 修正地面公交、轨道交通价格表

由于上海地面公交以次数收费，轨道交通以里程收费，故轨道交通的政府补贴方式应与地面公交不同，故对上述关于轨道交通的补贴分配进行修正：

轨道交通补贴原则：补贴额度与里程成正比

首先分析上海轨道交通各里程的出行人数分布：

由随机理论的观点可知，市民从出发地到目的地的距离是一个随机变量，设为X，对于

[2]

已出行了s距离的人在以后的s距离内终止的概率应当与已出行的距离呈正比，即为

sso(s)，为常数。此概率记为：

P(sXssXs)sso(s) ③

等式的左边为条件概率，进一步换算

PsXssXs

P(Xs)

P(sXss)F(ss)F(s) sso(s)

P(Xs)1F(s)P(sXssXs)

F(ss)F(s)sso(s)

[1F(s)]

s0所以 ④ ss

s[1F(s)]

F(s)lim

求解线性微分方程，代入初始条件F(0)0，得出行距离的密度函数：

f(s)se



s2

2

由上海轨道交通票价标准，0s56，当s56时，f(s)0，现在取=0.005，

则f(s)0.005se



0.005s2

2

0.005s2

2

F(s)1

e

图五

从图中可以看出，居民的出行距离在10—20公里间的概率较大，即在票价在3—5元的概率较大，与实际情况相符。

由概率累积函数得到上海市居民各个出行距离区间的人数比例（见表五，数据来自上海交通信息网）：

表五 上海市民出行距离

按照补贴与乘客乘坐轨道交通距离成正比的原则，可以设补贴的比例系数为k，即对现在票价为3，4，„„，8元的补贴分别为6k，16k，„„，56k，，则

0.08616k0.386616k0.342826k0.145336k0.034246k0.004656k1.16解得：k0.051

达到最大效用对轨道交通成本价的补贴如表六：

为

表六 修正上海轨交补贴

假定政府的现有轨道交通的补贴是与里程数成正比的，设为k1，现有的轨道交通补贴为0.98元/人次，与上述同理可列：

0.08616k10.386616k10.342826k10.145336k10.034246k10.004656k10.98解得：k10.0432

表七 轨交价格综合表

3.2.1公共交通占有率的讨论

随着社会的发展和城市流动性的增强，必然要求上述公共系统最大承载量所决定Zmax

的随之增加，这就需要公交系统进行扩路等基础设施建设以提高运力，满足出行需要，但由于道路属于公共资源，其通行能力的提高同时也会刺激小轿车（在此包括私家车、公车等）拥有量的增加，进一步挤占公共交通资源，削弱基础设施建设对提高交通运力的作用，阻碍“优先发展公共交通”政策的实施，这就需要讨论公共交通和小轿车的社会边际成本和个人边际成本。

现有的小轿车数量激增用经济学上的价值规律解释可以理解为，尽管现有的小轿车绝对

出行成本高于选择公共交通系统的绝对出行成本，但相比其个人担负的出行成本，其占有的社会资源和相应的社会成本是远远高于公共交通系统的；换句话说，就是相比小轿车享受的社会成本的付出，其个人支付的成本远远小于他应付出的成本，从这个角度说，相对公共交通小轿车是个类似“性价比”更为优越点出行方式，必然造成了其数量井喷式增长。那么若要在扩路提高运力的同时，避免新增运力被新增小轿车大量挤占，就需要“质价对等”、“权利义务相一致”，即对于个人边际成本和社会边际成本的相关比例满足：

地面公交的个人边际成本XB小汽车的个人边际成本XC

= ⑤

地面公交的社会边际成本YB小汽车的社会边际成本YC

于是我们考虑在“权利义务对等”下，通过公交的个人边际成本，公交与小汽车的社会边际成本之比两个数值求出小汽车应承担的个人边际成本。

表八 地面公交参数

表九 小汽车参数

那么每公里公交出行个人边际成本为：

XB=

平均票价1.91

=0.24元/公里/人

平均每人每次乘坐距离7.93

也就是说，公交资源利用效用最大时，平均每人乘坐公交车一公里的个人花费为0.24元。

在公交和小汽车社会边际成本之比的计算方面，由于单位面积道路修建使用成本是一个固定的数值，与两者的社会边际成本的绝对数值均成正比，从而对两者的社会边际成本之比没有直接影响。类似的，我们可以忽略其余与两者均成之比的因素，从而下述YB、Yc的测算可以不受其绝对数值的制约，大大简化了测算步骤。下面，我们引入道路人均占有面积作为测算指标，考虑到平均每辆公交车的占地面积约为小汽车的三倍，测算社会边际成本的比例如下，其中k为某一常数：

公交总数平均每辆每日出车次数公交平均线路长度平均每辆公交车占地面积与小汽车的比例

最优时平均每辆公交车的载客量

19000826.0333

=k474842k

25

YB=k

又有

YC=k

小汽车车辆总数平均每日每辆车出行距离

最优时平均每辆载客量

71000030

=k8520000k

2.5

将XB、

YB

代入⑤式，根据相关解得： Yc

XC4.31元/公里/人

于是，在权利义务等价下小汽车与公交车的个人边际成本应该达到的比例为：

XC3.59

18 XB0.2

也就是说，在行驶相同距离的情况下，小汽车个人成本是公交车个人成本的18倍。而

现实情况中，在上海市养车的成本约为2300元/月（油费、通行费、停车费等）。根据资料得，小汽车的日均行驶路程为30公里，按每月30天来计算，每辆小汽车的月均行驶路程为900公里。可以求得实际上海市小汽车行驶一公里的个人边际成本XC1

实际小汽车个人边际成本XC（元/公里/人）1

每月花费小汽车购买价格

+

月均行驶路程年均行驶路程汽车寿命最优载客量2300150000=+3.25元/公里9009001282.5=

根据XC1=3.25

表十 当前小汽车每月各项花销

根据表格中统计的数据，若要将小汽车的个人边际成本提高到效用最高时的成本，可以考虑对燃油费和通行费进行调整，以下我们给出三个方案：

方案一 只调高燃油费

政府通过只调高燃油费，将小汽车的个人边际成本从3.25元/公里调高到4.31元/公里，则每月燃油费增加925元，即增加79.5%的油费。目前上海油价为7.84元/升，提价后的建议油价为14.07元/升。上述油价的提升在短期内还无法立刻达到，但如今国际油价波动明显，随着像汽油这样不可再生资源的逐渐短缺，油价的大幅度攀升是有可能的，说明了从长期来看，提升油价79.5%在一定条件下是可能达到的。

方案二 只调高通行费

政府通过调高通行费将小汽车的个人边际成本从3.25元/公里调高到4.31元/公里，则每月通行费增加925元，即增加12.3倍。这个结果显然是不理想的，过大的提升通行费会引起群众的不满，给社会带来不和谐。所以，该方案不可行。

方案三 按比例调高燃油费、通行费以及车辆购买阶段的成本。

根据统计燃油费、通行费、部分购车成本（增值税、购置税、车船使用税，牌照费、验车费、培训费）如下（见表十一）

表十一 政府可调控的小汽车日常费用和购车成本

在每月车辆使用成本中，政府可以调控的费用Y为

Y=燃油费+通行费+牌照费+购置税+其它税

40000100002000

=1200+75+1816.7元/月

812

其中，上式中的牌照费、购置税、其它税是指将购买小汽车时的这三样费用平摊到将来使用中的每月里。

政府应平均每月增加车辆成本925元，即上调可调控的日常费用和购车成本的比例为

=

925

100%50.9%

1816.7

说明了政府可以通过各上调50%的燃油费、通行费、购置税、牌照费、其它税来防止小汽车对路面资源占有率的上升，从而保证公交资源利用效益最大化。另一方面，如果政府希望提高公共交通相对于居民出行的分担率，可以继续上调小汽车的各项成本。

3.3.1地面公交和轨道交通最优分担率的讨论

在财政补贴与非公交系统的讨论中，我们大部分的时间都在将公共交通系统作为一个整体讨论。事实上，在不同的地面交通和轨道交通的分担率下，公共交通资源的利用率与舒适度也不尽相同，为了使各类交通资源得到最大限度的利用，我们还要从影响人们出行方式的因素出发，讨论其对公交和轨交分担率的影响并给出改进建议

实际上，居民在选择出行交通方式时，出行时耗，出行费用，舒适度，安全性和可靠性等都会成为影响其出行的因素。研究结果表明，在现有经济发展水平下，出行时耗和出行费用是影响居民出行选择的最主要的两大因素。下面我们考虑用数学方法刻画上述两因素对居民出行选择的影响。

出行时耗的讨论：

1) 居民利用地面公交一次出行的平均时耗tB

DB/2tB间LDB/2tB++ ⑥

v步2vB

表十二：公交出行相关参数

假设 公交平均站间距DB500m

步行速度v步=5km/h

公交发车时间间隔tB间10min；

地面公交车速 35km/h

vB25km/h。

2）对于居民利用轨道交通一次出行的时耗tR

DR/2tR间LDR/2

tR++ ⑦

v步2vR

表十三 轨交出行相关数据

假设 地铁平均站间距DR1500m

发车间隔tR间4min；

轨道交通速度 50km/hvB40km/h。

根据式⑥和⑦，绘制出不同出行距离下的总出行时间曲线图，如下（图六）

图六

从图中看出，轨交的主要优势在长距离出行上，对于距离小于2km的出行中没有特别的优势。

图中四条曲线围成一个四边形，显然这个四边形所包含的范围就是轨交与地面交通的主

要交叉客源区间，也就是出行距离在2km—7km的乘客，而这又是选择公共交通出行的客源中比例最大的一部分。从这种客源上的交叉，会使地面交通与轨道交通的分担率成为随影响因素变化的函数。因此我们选用推广后的Logit模型刻画这种分担关系该关系。

在Logit模型中，效用函数Ui的讨论非常复杂，于是我们借用上述思想，考虑用量化的广义费用函数代替效用函数来推广Logit模型。

根据城市居民在选择出行方式时考虑的各个因素，建立如下的广义费用函数。 [3]

CiXi0

式中 C——出行的广义费用，元；

Xi0——影响因素i的经济价值，元；

i——影响因素i的权重系数；

i——影响因素，取值为1或2；1表示为出行时耗、2表示出行费用。

具体到此问题中，地面公交和轨交的广义费用函数CB,CR为

DR)2 DCB1C0TB2pB0(LB)2CR1C0TR2pR0(L

其中

TR,TB——分别表示利用轨道交通与地面公交出行的出行时耗，分钟；

pR0,pB0——分别表示利用轨道交通和地面公交出行的票价，元/公里；

DR,DB——分别表示利用轨道交通与地面公交出行量两端出行距离，公里；

C——单位时间的经济价值，元； 0

L——一次出行的出行距离，公里；

1,2——权重系数；

考虑Logit模型的思想，由广义费用函数取代效用函数可定义两者的分担率有：

e(CR)1PR(CR)(CB)ee1e(CBCR)

⑨ (CB)e1PB(CB)(CR)ee1e(CRCB)

式中

PR,PB——分别表示轨道交通与地面交通的客流分担率，显然有：0PR,PB1，PRPB1的关系；

——系数，可以通过实际调查拟合确定。

由3.2.1中提供的现有轨交和地面交通分担率为：PR33%,PB67%

根据实际情况，我们将影响因素中的相应数据如下取值：

L10;DR1.5;DB0.5;pR04;pB02

C0.5;TR60;TB60;120.50

计算得当今交通系统中轨交和地面公交的广义费用满足CRCB8.75，进一步带入分担率函数，得到0.081，代入式⑨，得

PR1

1e(CBCR)1e0.081(CBCR)

⑩ 11PB=(CRCB)1e1e0.081(CRCB)

据此我们可以绘制如下轨道交通和地面公交分担率PR,PB随广义费用CRCB变化的规律曲线如图七： =1

图七

根据上海公共交通系统发展方向，随着地面公共交通资源日益饱和，大力发展轨道交通，提高轨道交通在公共交通系统中的分担比例，成为必然的政策导向选择。

现有的轨道交通和地面公交分担率为PR33%,PB67%，随着轨道交通的发展，在其运力达到轨道交通总运力:地面公交总运力=4:6 的情况下，我们考虑对CRCB的影响因素的调整，将两者的运力分担率从33%:67%调整为：

轨道交通分担率:地面公交分担率=PR:PB=4:6。

此时由PR40%,PB60%，带入式⑩求得CRCB5.005。下面分别就出行费用和出行时间两个因素讨论调整方案。

建议方案：对出行费用，即票价和公交车速的调整。根据我们在模型3.1的讨论中得到的整个公交系统最优补平均贴不变，讨论公交系统和轨交系统为达到目标分担率各应享有的实际补贴额度及对应的实付票价。我们给出如下一种调整的方式：

pR03.22

pB01.62

TR37.04

TB45

其中，pR03.22

pB1.620调整成为最初模型3.2中的平均轨交、公交建议价格，轨交出行时间TR从45min缩短到37.04min，即可以通过对轨交的提速、修建地铁站、缩短发车间隔时间达到轨交出行时间的缩短。

通过matlab作图，分别得到实际情况轨道交通与地面公交的分担情况（图八）和调整后的轨道交通与地面公交的分担情况（图九）

图八

图九

通过上述举例，我们说明了如何调整轨道交通和地面公交的广义费用，来达到政府对其分担率的调整。从图七到图八的变化，我们发现，如果政府要提升轨道交通的分担率，即要使分担线向右移动，也就是增大CBCR的值，例子中就是通过调整轨交与公交的票价和缩短轨交的运行时间来达到增大CBCR的目的。

4. 分析与推广

4.1分析

 在孤立公交系统的价格需求博弈模型中，核心思想为将公共交通系统作为一个孤立

与其他交通模式之外的独立的整体考虑，研究对象具有对公共交通有固定依赖的人群的特性，因此一定时间内乘坐公交的次数有上下限。有以上这些基础才可以应用此博弈模型及改进。

 公共交通占有率的讨论模型中，核心思想为实行扩路来提高运力时，为使一种交通

方式的资源利用效用最大，避免被其他交通方式挤占，需要对于其个人边际成本和社会边际成本的相关比例恒定，当只考虑地面公交和小汽车时，即

地面公交的个人边际成本XB小汽车的个人边际成本XC= ⑤ 地面公交的社会边际成本YB小汽车的社会边际成本YC

 地面公交和轨道交通最优分担率的讨论模型中，核心思想为我们考虑出行费用和出

行时间两个因素，各种公交方式的分担率由不同的广义费用决定，为使各类交通资源得到最大限度的利用，可调整各自广义费用。而这种关系可推广至包括舒适度，安全性和可靠性等多个因素，具有很强的延展性。

4.2推广

4.2.1孤立的公交系统价格需求博弈模型的推广

在3.1中的孤立的公交系统价格需求博弈模型中，考虑的目标人群可以从对公交系统有稳定需求的人群缩小至其中的一部分人群，如老人小孩，上班族，学生等。

 考虑政府对老人和限定高度下的小孩的福利性补贴政策。应用3.1的孤立公交系统

价格需求博弈模型

ZM(1)Z0 P0P

式中，老人和限定高度下的小孩的M值较小，所以当福利性补贴PM

P0P

的值不会有大的波动，即人们一定时间内的出行次数不会受到大的影响。

说明人们在一定时间内的出行次数不是与P0P有关，而是与MP0P有关，当

M

P0P不变时，出行次数不会受到影响。

 考虑政府对上班族的补贴政策。应用3.1的孤立模型，若政府对上班族实行月票形

式的补贴，则上班族的人们每月在乘坐公交车的总费用E：

EZ(P0P)M(1)Z0(P0P) 因为E>=4.88%，说明上班族对乘坐公交有刚性的需求，不会因为补贴的增加，M

乘坐的次数有明显的上升。

4.2.2公共交通占有率讨论模型的推广

在3.2.1的公共交通占有率的讨论中，我们引入了在小排量汽车的个人边际成本大排量汽车的个人边际成本=制定导向性政策的一般性思小排量汽车的社会边际成本大排量汽车的社会边际成本

想，将权利义务相一致的社会共识量化处理。即引入个人边际成本与社会边际成本比值的作为测算指标；这种思想可以扩展到一类交通政策制定的考虑问题，如我们希望鼓励小排量汽车的发展可以通过建立如下关系式：

通过对大（小）排量汽车对资源损耗和环境污染折合货币价值的统计数据，得到大（小）排量汽车的社会边际成本之比，根据大排量汽车现有的个人边际成本。从而可以测算出小排量汽车应付的个人边际成本，再进一步通过减税、补贴等相关政策制定调整其实际支付的个人边际成本，达到预期的政策目标

4.2.3地面公交和轨道交通最优分担率讨论模型的推广

分两方面推广：

 推广到多个影响因素

在3.3.1中地面公交和轨道交通分担率的讨论模型中，可将影响因素——票价和出行时耗——推广至多个影响居民出行选择交通方式的因素，如舒适度，安全性和可靠性等。

例如，增加居民对公交舒适度的考虑，在考虑舒适度，票价和时间对客流分担率的影响时，仍可利用此模型，只需将广义费用函数中增加对应的影响因素项的货币化表达即可。 如考虑出行时耗，出行费用和舒适度三项因素，建立广义费用函数

DR)3C1UR2 DCB1C0TB2fB0(LB)3C1UB2CR1C0TR2fR0(L

其中，UR，UB——舒适度系数，在0和1之间

C1——舒适度价值比例值，元；

1,2,3——权重系数，通过调查统计可以获得

根据修正后的广义费用函数，与上述3.3中的处理完全一致，可以得到分担率与广义函数费用差的关系

 推广到多种公交方式

在3.3.1中地面公交和轨道交通分担率的讨论模型中，可将公交工具——地面公交和轨交——推广到三中交通模式：地面公交，轨道交通和出租车。此模型仍有很强的适用性：

PieUi

e

j12Uj，UiwXkk12ik i1,2,3

由广义费用函数取代效用函数可定义三项各自的分担率有：

e(CR)1PR(CB)(CR)(CT)(CBCR)eeee1e(CTCR)

e(CB)1PB(CB)(CR)(CT) eee1e(CRCB)e(CTCB)

e(CT)1PT(CB)(CR)(CT)(CBCT)(CRCT)eeeee1

其中，PB,PR,PT——分别表示地面公交、轨道交通和出租车的客流分担率

显然有：0PB,PR,PT1，PBPRPT1的关系；

CR,CB,CT——分别表示利用轨道交通、地面公交和出租车出行的广义费用；

——系数，可以通过实际调查标定。

故由此模型算出的多种交通方式的客流分担率更加全面，更加准确。说明此模型有很强的延展性。

5. 总结与评价

本文分别从孤立整体公交系统、公共交通系统与私家车、公交轨交二元系统三个层面上，就系统内的假设给出了三组基于价值规律分析的数学模型，并根据上海市的实际数据给出了模型在上海市的具体数量表达，从定性的角度解释了交通现状的内在原因，指出了政策制定的方向；从定量的角度基于数量关系的分析测算给出了最优政策的数量表达并讨论了政策的相关影响。从而形成了一整套涉及交通发展优化方式各主要方向的量化改进方案，讨论了核心建模思想的推广，得到了满意的结果。

1）在孤立公交系统模型中，我们固定了目标人群并封闭了系统，依据博弈论的相关理论，通过优化问题的求解得到了需求票价关系并初步修正为引入补贴的关系模型。进而在考虑到实际环境的阻滞因素后再次修正模型，通过引入判别指标效用函数结合上海市交通现状数据得到了最优点——即资源最大利用与舒适出行的平衡点，从而以数量化的形式给出了公交系统补贴的参照额度和政策目标，并针对不同收入人群进行了推广。但鉴于实际数据有限，该模型体系中最低出行次数、阻滞增长上限等限制性因素出于经验估计，尽管对模型类型和趋势走向没有绝对影响，对于得到的量化最优补贴点的却有着精度上的影响。因此精确方案的制定还有赖于设计问卷调查等方式提供上述参数的较高置信水平的估计区间。

2）在公共交通系统与私家车模型的讨论中，以新增道路建设不被私家车过分挤占为目标，通过将权利义务相一致的规律量化成数学表述，我们引入了经济学中关于边际成本的讨论，通过个人边际成本与社会边际成本对等的数量关系，给出了限制私家车发展政策目标的数值表示，即私家车应承担的个人边际成本，并据此给出了政策制定方案。在对此部分的讨论中，将上述孤立系统中算得的最优补贴票价带入测算，获得了两部分讨论的一致性和连贯性，进而保证了政策制定的整体一致性，并沿用此思想对其他公共交通方式进行了推广，但另一方面又不可避免地引入了前一部分的数据误差。加之此部分的社会边际成本通过路面占有的人均测算属于间接测算，只估算考虑了关于人均路面占有率等有限因素，不能够完整全面的刻画社会边际成本，从而造成私家车限制制定方案中应承担的个人边际成本出现偏差。但总体来说，该测算还是基本给出了有实际参考价值的目标政策数量表达形式，是一个满意的测算方案，给出了有价值的政策参考。

3）在公交轨交分担率中通过采用广义费用函数推广了Logit模型，确定了分担率随广义函数之差的函数关系式，通过拟合得到确定参数并绘制变化曲线。对公共交通发展导向分析后，给出了在假设的政策目标分担率下对应的广义函数之差，并具体讨论了为达到政策目标，不同的影响因素即票价、车速等应作出的具体数量上的调整。在此过程中，由于将出行时间等非货币因素的对出行意愿的影响货币化，得到了一个综合各类因素的广义函数，从而给出了一个较全面的衡量指标，更贴近出行意愿的真实选择，沿用此思想针对影响人们出行选择的因素以及人们出行的交通方式进行了推广。但另一方面，由于引入的单位时间货币价值、各部分权重等转化辅助量依赖于主观判读选择，在不同的选择下可能会造成衡量结果的差异，影响了模型在衡量意愿方面标准的统一。但鉴于可以找到的数据有限，此方法是我们在充分

利用可以推断考虑数据的基础上能得到的最接近实际选择过程的测算方法，并给出了政策目标的具体实现手段，于是，我们认为，模型是可接受的。

综合看来，本文的三个层面对应的各组模型均在假设层面上刻画了相关的数量关系，支持了相关政策对量化数据的要求和并在此基础上给出了政策建议，完成了预期的要求，得到了满意的结果。同时也应看到，三个模型又都受制于实际数据的缺失和不完善，一定程度上依赖主观的估算和推测，一部分推测并不能找到足够数量的相关直接数据进行检验，从而本文模型及相关测算方法在精确性可靠性方面还有待进一步的验证，完善及提高。

6. 参考文献

[1] 郝记秀 黄浩丰 关宏志 严 海 王元庆 城市公共交通定价中的补贴测算方法研究 太原理工大学学报（社会科学版） 2008,9(3)

[2] 关文斌 城市道路交通出行距离研究 黑龙江交通科技 2008,9（175）

[3] 马超群 王玉萍 陈宽民 城市轨道交通与常规公交之竞争模型 交通运输系统工程与信息 2007,6（3）

7. 附录

票价标准：

(1)仅乘坐5号线（莘庄-闵行开发区）6公里以内2元，6-16公里3元。

(2)其他情况：6公里以内3元，6-16公里4元，16-26公里5元，26-36公里6元，36-46公里7元，46-56公里8元。

(3)实行一票通后，最远换乘累计里程为50公里，即票价8元封顶。

(4)根据相关规定，无票乘车或遗失车票可按单程最高票价加收票款，并加以5倍以下付款。

程序：

Figure1：

z0=10;

r=0.0488;

M=1750;

p0=3.48;

p=0:0.001:3.47;

z=r*M./(p0-p)+(1-r)*z0;

plot(p,z)

title('独立公交系统博弈模型曲线

','fontsize',16,'color','k','fontangle','italic')

xlabel('政府补贴P')

ylabel('市民出行意愿')

Figure2：

zmax=60;

r=0.01626;

M=1750;

p0=3.48;

C=(zmax/20-1)/exp(-r*M/2.8)

p=0:0.01:3.47;

z=zmax./(1+C*exp(-r*M./(p0-p)));

plot(p,z)

title('独立公交系统博弈模型曲线

','fontsize',16,'color','k','fontangle','italic')

xlabel('政府补贴P')

ylabel('市民出行意愿')

Figure3：

zmax=60;

r=0.0488;

M=1750;

p0=3.48;

C=(zmax/40-1)/exp(-r*M/2.8)

p=0:0.01:3.47;

z=zmax./(1+C*exp(-r*M./(p0-p)));

z=z./p;

plot(p,z)

title('效益函数关系曲线

','fontsize',16,'color','k','fontangle','italic')

xlabel('政府补贴P')

ylabel('效益u')

Figure4：

zmax=60;

r=0.0488;

M=1750;

p0=3.48;

C=(zmax/40-1)/exp(-r*M/2.8)

p=0.5:0.0001:3.48;

d=C*exp(-r*M./(p0-p));

df=1./(p.^2.*(1+d).^2).*(-zmax).*(1+d+p.*(d.*(-r*M)./(p0-p).^2)); z=zmax./(1+C*exp(-r*M./(p0-p)))

z1=0;

plot(p,df,'r',p,z1,'k')

title('u对P的导函数曲线图

','fontsize',16,'color','k','fontangle','italic')

xlabel('政府补贴P')

ylabel('u对P的导函数')

Figure5：

S=1500;

S0=6340.5;

b=0.5;

%a=0.00116*sqrt(S)+0.118*sqrt(S/S0)-0.02439*log(b)

a=0.005;

s=0:0.1:56;

f=a*s.*exp(-a*s.^2/2);

plot(s,f)

title('居民出行距离密度函数

','fontsize',16,'color','k','fontangle','italic')

xlabel('³出行距离s')

ylabel('密度函数')

Figure6：

L=0:1:13;

v1=5*1000/60;

y1=250/v1+5+60/25.*(L-0.250);

y2=250/v1+5+60/35.*(L-0.250);

y3=750/v1+2+60/40.*(L-0.750);

y4=750/v1+2+60/50.*(L-0.750);

plot(L,y1,'r');hold on

hold on

plot(L,y2,'b');

hold on

plot(L,y3,'k');

hold on

plot(L,y4,'g');

legend('地面公交25km/h','地面公交35km/h','轨道交通40km/h','轨道交通50km/h')

title('不同出行距离下的总出行时间曲线图')

xlabel('出行距离（km)')

ylabel('出行时间(min)')

Figure7：

x=-100:0.1:100;

r=0.081;

P1=1./(1+exp(-r.*x));

P2=1./(1+exp(r.*x));

plot(x,P1,'b',x,P2,'r');

legend('轨道交通的分担率','地面公交分担率')

title('轨道交通与地面公交分担率曲线图')

xlabel('地面公交与轨道交通广义费用的差Cb-Cr ')

ylabel('分担率')

Figure8：

x=-100:0.1:100;

y=0:0.0001:1;

%x=5.005;

r=0.081;

P1=1./(1+exp(-r.*x));

P2=1./(1+exp(r.*x));

x1=0;

plot(x,P1,'b',x,P2,'r');

legend('轨道交通的分担率','地面公交的分担率')

title('¹轨道交通与地面公交分担率曲线图')

xlabel('地面公交与轨道交通广义费用的差Cb-Cr')

ylabel('分担率')

hold on

plot(x1,y,'--')

hold on

x2=-5.005;

plot(x2,y,'--')

hold on

分工：建模过程中我们分工合作，集体努力完成了我们的预期设想，每一步骤都有大家的讨论完善，下述分工仅限各自工作侧重方面

张媛 负责建模方案、算法的设计统筹，模型的建立和测算方法的提出，论文的成文； 吕慧洁 负责建模方案的实施步骤，统计数据的整理与优化，模型数值化处理，论文初稿； 谢莉娟 负责上海市实际数据的查找、统计、综合，数据的逐步测算、图形绘制、论文的优 化与格式调整。