数列求和导学案

发布时间: 2020-07-16 04:10 标签：数列求和

数列求和

1. 等差数列前n 项和S n ＝_ __＝__ ___，

推导方法：__ _____；

⎧⎪ ， q ＝1，

等比数列前n 项和S n ＝⎨

⎪⎩ ＝， q ≠1.

推导方法：2. 常见数列的前n 项和：

(1)1＋2＋3＋…＋n ＝； (2)2＋4＋6＋…＋2n ＝______； (3)1＋3＋5＋…＋(2n －1) ＝______； (4)12＋22＋32＋…＋n 2＝___ ____； (5)13＋23＋33＋…＋n 3＝__________. 3. 数列求和的常用方法：

（1）公式法：能直接用等差或等比数列的求和公式的方法。

（2）分组求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（等差、等比、常数列）然后分别求和的方法。（3）并项求和法：将数列相邻的两项或几项并成一组，得到一个新的更易求和的数列的方法。

（4）裂项相消法：将数列的通项分成二项的差的形式，相加消去中间项，剩下有限项再求和的方法。（5）错位相减法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，也即是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法。若{a n }为等差、则求数列{a n b n }{b n }为等比数列，的前n 项和可用此法。

（6）倒序求和法：即仿照推导等差数列前n 项和公式的方法

(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过观察数列通项公式特点和规律，判断求和类型，寻找合适的求和方法. 求和过程中同时要对项数作出准确判断. 含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论.

(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：

①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成.

②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和. 4. 常见的拆项公式：

111111

=(-) ； ②=(n +k -n )

n (n +k ) k n n +k +k +n k

1111

=(-) ； ③

(2n -1)(2n +1) 22n -12n +1

1111

=[-] ④

n (n +1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2)

①

一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和：

2222

1、等比数列{a n }的前n 项和S ｎ＝2－１，则a 1＝ +a 2+a 3+ +a n

ｎ

2、已知log 3x =

-123n

，求x +x +x +⋅⋅⋅+x +⋅⋅⋅的前n 项和. log 23

3、设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3=7，且a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列．

（1）求数列{a n }的等差数列．（2）令b n =ln a 3n +1，n =1求数列{b n }的前n 项和T n ．，2，，

4、设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N , 求f (n ) =

S n

的最大值.

(n +32) S n +1

二、错位相减法：

2462n

5、求数列, 2, 3, ⋅⋅⋅, n , ⋅⋅⋅前n 项的和.

2222

6、求和：S n =1+3x +5x 2+7x 3+⋅⋅⋅+(2n -1) x n -1

n －

7、设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n 1a n ＝，n ∈N *.

(1)求数列{a n }的通项； (2)设b n ＝{b n }的前n 项和S n .

a n

8、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *). (1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；

T n －2

(2)若b n ＝(2n ＋1) a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n . 求满足不等式的n 的最小值.

2n －1

9、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1 (n ∈N *) ，等差数列{b n }中，b n >0 (n ∈N *) ，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列.

(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .

10、设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1=b 1=1，a 3+b 5=21，a 5+b 3=13

（Ⅰ）求{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）求数列⎨

⎧a n ⎫

⎬的前n 项和S n ． ⎩b n ⎭

11、在数列{a n }中，a 1=2，a n +1=λa n +λn +1+(2-λ)2n (n ∈N *) ，其中λ>0．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n }的前n 项和S n ；

三、逆序相加法：

111x 2

f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f () +f () +f () ＝______； 12、已知f (x ) =，则2

2341+x

13、设f (x ) =

，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求 x

2+2

f (-5) +f (-4) + +f (0) +... +f (5) +f (6) 的值为。

14、求sin 1+sin 2+sin 3+⋅⋅⋅+sin 88+sin 89的值

2x 1

15、设函数f (x ) =x 的图象上有两点P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ，若=(OP 1+OP 2) , 且点P 的横

22+2

坐标为

. （I ）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；

（II ）若S 1(2) +f (3) +⋯+f (n n n n n

), n ∈N *

n =f () +f , 求S n ;

四、裂项求和法：

16、求数列1111+2

2+, ⋅⋅⋅,

n +n +1

, ⋅⋅⋅的前n 项和.

17、①求和：

111⨯4+4⨯7

(3n -2) ⨯(3n +1)

= ；

②在数列{a 1n }中，a n =n +n +1

，且S ｎ＝９，则n ＝；

18、已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎛1⎝S n －2. (1)求S S n 的表达式； (2)设b n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .

19、已知数列{a 1

n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2

n (n ＝1,2,3，…).

1111

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝log 3(3an +1) ，求 T n ＝…＋

b 1b 2b 2b 3b 3b 4b n b n ＋1

20、正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =a n +1. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =

21、已知二次函数y =f (x ) 的图像经过坐标原点和（2,8）且关于直线x =为S n ，点(n , S n )(n ∈N *) 均在函数y =f (x ) 的图像上。（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =

, 数列{b n }的前n 项和为T n , 求证:T n

a n ⋅a n +12

对称，数列{a n }的前n 项和3

m 1*

，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n

20a n a n +1

五、分组求和法：

1111

22、求数列1, 2, 3, , (n +n ), 的前n 项和。

2482

23、求和：S n =-1+3-5+7-

+(-1) n (2n -1)

24、求和：(1)S 392565

n ·2n ＋1n 248162

25、求和S ＝1＋⎛⎝1＋12＋⎛⎝1＋11

111n 2＋4＋…＋⎛⎝1＋24＋…＋2－⎭.

26、求数列的前n 项和：1+1,

1a +4, 11

a 2+7, ⋅⋅⋅, a

n -1+3n -2，…

27、数列{a n }的前n 项和S n =2a n -1，数列{b n }满b 1=3, b n +1=a n +b n (n ∈N *) . （Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n 。

28、求S =12-22+32-42++(-1) n -1n 2（n ∈N +）

六、利用数列的通项求和： 29、求1+11+111+⋅⋅⋅+111

⋅ ⋅⋅1之和. n 个1

30、求数列：1，

11+211+2+3， 11+2+ +n

的前n 项和。

七、并项法求和：

31、在各项均为正数的等比数列中，若a 5a 6=9, 求log 3a 1+log 3a 2+⋅⋅⋅+log 3a 10的值.

32、求-12

+22

-32

+42

-52

+62

-... -992

+1002

的和。

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